相关试卷

1、如图，已知 $A B ∥ D C ， ∠ A B C = ∠ A D C ， B F ， D E$ 分别平分 $∠ A B C$ 与 $∠ A D C$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．

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2、学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位： $℃$ ）
$\begin{array}{l} 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 5 \end{array}$
$\begin{array}{l} 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 \end{array}$
$\begin{array}{l} 11 & 12 & 13 & 15 & 18 & 19 & 20 \end{array}$
根据以上信息回答下列问题：

(1)、甲地2月日均气温的中位数为___________ $℃$ ；

(2)、请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线；

(3)、结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点．

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3、在平面直角坐标系中，一个轴对称图形的其中一部分如图所示，点 $A (5, 3)$ 与点 $B (5, - 3)$ 是这个轴对称图形中的一对对称点．

(1)、图形上点 $C (2, 3)$ 的对称点 $D$ 的坐标为_________；

(2)、请补全这个轴对称图形．

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4、已知 $y$ 是 $x$ 的函数，列出部分自变量的值与其对应函数值如下表 $（ m ， n$ 为常数），则这个函数的图象可能是（）
$x$
．．．
$m$
$m + 1$
$m + 2$
$m + 3$
$m + 4$
．．．
$y$
．．．
$n$
$n - 0.5$
$n - 1$
$n - 1.5$
$n - 2$
．．．

A、 B、 C、 D、

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5、如图，已知 $O A = O B$ ，数轴上点 $A$ 所表示的数为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6、已知正比例函数 $y = k x$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）与一次函数 $y = 2 x + 3$ 的图象是两条平行直线，则 $k$ 等于（）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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7、如图为云岩区内部分立交桥的大致位置，以中坝立交所在的点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知有一立交桥坐标约为 $(3, 3)$ ，则该立交桥可能是（）

A、黔春立交 B、三桥立交 C、圣泉立交 D、北站立交

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8、如图，已知直线 $a ∥ b ， ∠ 2 = 110 °$ ，则 $∠ 1$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $70 °$ C、 $110 °$ D、 $130 °$

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9、我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程” $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 设其两根为 $x_{1} 、 x_{2} (x_{1} \geq x_{2}),$ 定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中 $s = ∣ x_{1} + x_{2} ∣, p = ∣ x_{1} x_{2} ∣) .$ 若两个“全整根方程”的特征数对分别为 $M_{1} (s_{1}, p_{1}), M_{2} (s_{2}, p_{2}), s_{1} + s_{2} = ∣ p_{1} - p_{2} ∣,$ 则称这两个方程互为“关联全整根方程”.
举例说明：方程①： $x^{2} - 9 x + 20 = 0 (x_{1} = 4, x_{2} = 5),$ 特征数对M（9，20）；
方程②： $x^{2} + 6 x + 5 = 0 (x_{1} = - 1, x_{2} = - 5),$ 特征数对M₂（6，5）；
验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题：

(1)、【概念辨析与计算】
已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0$ （k为整数）是“全整根方程”.
①则该方程的两根分别为 ▲ ， ▲ ；
②若其特征数对为M（3，2），求k的值.

(2)、【关联探究与推理】
若方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 和 $x^{2} + p x + q = 0$ 都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q.

(3)、【AI验证与拓展】
某同学利用AI工具生成了“全整根方程” $A : x^{2} + m x + n = 0 (m⟩ 0,0 < n < 25)$ 与“全整根方程” $B : x^{2} + 10 x + 25 = 0,$ 且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值.

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10、已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2cm，AB=4cm，BC=6cm，E是BC中点，∠C=45°.已知动点P从点A出发，沿着AB方向以1cm/s的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着CD方向以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度向终点D匀速运动.当一个点到达终点时，另一点也随之停止.设运动的时间为ts.

(1)、当t=2s时，求PE的长；

(2)、用含t的代数式表示线段PQ的长；

(3)、当∠PEQ=90°时，求t的值.

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11、观察下列等式，并回答下列问题：
第1个等式： $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 + 4 - 1}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$ 第2个等式： $\frac{1}{\sqrt{4 + 9 + 36 - 1}} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3}$
第3个等式： $\frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 144 - 1}} = \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4}$ ……

(1)、请直接写出第4个等式；

(2)、根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ▲ ，并计算：
$\frac{1}{\sqrt{1 + 4 + 4 - 1}} + \frac{1}{\sqrt{4 + 9 + 36 - 1}} + \frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 144 - 1}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2025 + 2116 + 2025 \times 2116 - 1}}$

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12、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 1) x + 2 k - 2 = 0 .$

(1)、求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；

(2)、若等腰△ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值.

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13、某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制如下统计图.

(1)、【数据分析】
小华利用平均数和方差进行分析.①处应填环.由表格中的数据可以看出（填“A”或“B”）选手的发挥更稳定.

(2)、小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析.下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数：m₂₅、m₅₀、m₇₅的值.
选手
平均数
方差
A
8.5环
1.75
B
①
0.75

(3)、【作出决策】
根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔（填“A”或“B”参加青少年射击比赛），并说明理由.

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14、解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$

(2)、 ${(x - 5)}^{2} = 8 (x - 5)$

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15、计算：

(1)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{12} \div \sqrt{3}$

(2)、 $(2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5}) - {(\sqrt{3} - 2)}^{2}$

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16、我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程 $x^{2} + 6 x = 27$ .如图1：在边长为x的正方形的四条边上向外作边长为x和 $\frac{3}{2}$ 的长方形，再把它补充成一个边长为x+3的大正方形，得到大正方形的面积为 ${(x + 3)}^{2} = x^{2} + 6 x + 9 = 27 + 9 = 36$ （因为 $x^{2} + 6 x = 27) .$ 所以大正方形的边长为x+3=6，得到x=3。聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程 $x^{2} + a x - b = 0$ 时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形ABCD面积为64，小正方形EFGD面积为25，则 $x^{2} + a x - b = 0$ 中的a=；b=.

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17、已知m，n是一元二次方程 $2 x^{2} - 6 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $2 m^{2} - 5 m + n$ 的值等于.

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18、已知a，b满足 $b = 2 \sqrt{a - 3} + \sqrt{3 - a} + 7,$ 则a+b=.

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19、一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根为α与β.则 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ 的值是.

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20、某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占40%，期末考试成绩占60%计算.若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为分.

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$x$	．．．	$m$	$m + 1$	$m + 2$	$m + 3$	$m + 4$	．．．
$y$	．．．	$n$	$n - 0.5$	$n - 1$	$n - 1.5$	$n - 2$	．．．

选手	平均数	方差
A	8.5环	1.75
B	①	0.75