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相关试卷

1、某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图， $A M ∥ B C$ ．已知 $∠ M A C = 74 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $56 °$ C、 $70 °$ D、 $74 °$

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2、点 $M (- 1, - 2)$ 关于x轴对称的点的坐标为( )

A、 $(- 1, - 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2)$

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3、北京大学科研团队成功研制出高精度模拟矩阵计算芯片，在求解矩阵方程时，其相对误差可低至0.0000001量级．将数据0.0000001用科学记数法表示为（）

A、 $1 \times 10^{7}$ B、 $10 \times 10^{- 8}$ C、 $1 \times 10^{- 7}$ D、 $0.1 \times 10^{- 6}$

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4、下列希腊字母中，是轴对称图形的是（）

A、 $α$ B、 $β$ C、 $γ$ D、 $θ$

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5、下列长度的三条线段能构成三角形的是（）

A、 $2$ ， $3$ ， $4$ B、 $7$ ， $8$ ， $15$ C、 $3$ ， $4$ ， $8$ D、 $5$ ， $5$ ， $11$

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6、综合与实践

【情境】综合与实践课上，嘉嘉和淇淇利用量角器、三角尺 $A B C$ 进行操作探究活动，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ．

【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同的方式摆放量角器和三角尺 $A B C$ ．

如图1，嘉嘉的操作如下：

将三角尺 $A B C$ 放置在量角器上，点 $C$ 与圆心 $O$ 重合，已知这把三角尺的直角边 $B O$ 和量角器外弧所在圆的半径相等，点 $D$ 是斜边 $A B$ 与量角器外弧所在圆的交点，点 $B$ 的对应刻度为 $142 °$ ．

如图2，淇淇的操作如下：

将斜边 $A B$ 为 $6 \sqrt{3}$ 的三角尺 $A B C$ 叠放在量角器上，且 $A B ∥ M N$ ，点 $A$ ， $B$ 恰好落在量角器的外弧所在圆上，点 $B$ 的对应刻度为 $150 °$ ， $A C$ 与外弧交于点 $E$ ．

【探究】根据以上两人的操作，解决下列问题．

（1）在图1中，求点 $D$ 对应量角器的刻度；

（2）若将图1的三角尺 $A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，能否使得 $A B$ 与量角器外弧所在的圆相切？____（填“能”或“不能”）；

（3）在图2中，判断 $B C$ 所在直线与量角器外弧（即半圆 $\overset{⌢}{M E N}$ ）所在的圆的位置关系，并说明理由；

【拓展】（4）直接写出 $\overset{⌢}{B E}$ 的长．

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7、某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 $A B$ ， $C D$ 两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在 $A B$ ， $C D$ 两楼之间上方的点 $O$ 处，点 $O$ 距地面 $A C$ 的高度为 $30 m$ ，此时观测到楼 $A B$ 底部点 $A$ 处的俯角为 $70 °$ ，楼 $C D$ 上点 $E$ 处的俯角为 $30 °$ ，沿水平方向由点 $O$ 飞行 $24 m$ 到达点 $F$ ，测得点 $E$ 处俯角为 $60 °$ ，其中点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $O$ 均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离 $A C$ 的长．（结果精确到 $1 m$ ．参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ）
．

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8、数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下：

课题	制作测角仪，测量榕树的高度
制作及测量过程	（1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1；（2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2；（3）得出仰角 $α$ 的度数；（4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离；（5）计算这棵榕树的高度．
测量示意图
测量数据	如图3，经测量眼睛离地面的高度 $A M = 1.6 m$ ，人到榕树底部的距离 $M N = 10 m$ ，测角仪上细线所对应的刻度为 $63^{\circ}$

请根据“方案”完成下列任务：

【任务一】（1） $α$ 的度数是________；

【任务二】（2）计算这棵榕树高度 $D N$ （结果保留整数）．

（参考数据： $sin 27^{\circ} \approx 0.45$ ， $cos 27^{\circ} \approx 0.89$ ， $tan 27^{\circ} \approx 0.51$ ）

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9、综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线 $P Q ， M N$ 和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线 $P Q ∥ M N$ 和一副直角三角板．

(1)、如图1，小亮把一个三角板的直角顶点 $B$ 放在直线 $M N$ 上， $30^{°}$ 角的顶点 $C$ 放在直线 $P Q$ 上，若 $B O$ 平分 $∠ A B C$ ，求 $∠ C O N$ 的度数；

(2)、小明把一副三角板按如图2摆放，延长 $E D$ 交 $M N$ 于 $G ， D G$ 是 $∠ A D Q$ 的角平分线，则 $∠ A D Q =$ ______________ $^{°}$ ， $∠ D B G =$ ______________ $^{°}$ ．

(3)、在（2）的条件下，直角三角板 $△ A B C$ 和 $D G$ 固定不动，如图3，将直角三角板 $△ E D F$ 绕点 $D$ 以每秒 $5^{°}$ 的速度顺时针旋转，设旋转时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 18)$ ，作DK平分 $∠ G D F$ ，当 $∠ A D K = 10^{°}$ 时，求 $t$ 的值．

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10、综合与实践：

课题

制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒

知识准备

（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是；（填字母）

实践探索

嘉嘉在边长为 $a cm$ 的正方形纸板四个角各剪去一个边长为 $b cm$ 的小正方形并沿虚线折叠成一个无盖的长方体形收纳盒（图1）

b/ $cm$	1	2	3	4	5	6
V/ ${cm}^{3}$	324	512	588	576	500	384

图2

（2）任务1：当 $a = 10 cm$ ， $b = 2 cm$ 时，求这个盒子的容积．

（3）任务2：当 $a = 20 cm$ ，将相应长方体形盒子的容积V与高度b之间的关系建立如图2表格，若b取整数，观察表格特点，当 $b =$ 时V最大？当 $b =$ 时 $V = 0$ ？

（4）任务3：经证明：当 $b = \frac{1}{6} a$ 时，V取得最大值，求当 $a = 20 cm$ 时V的最大值（结果保留整数）

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11、某校进行阅读角书架设计活动，如图是其中一种书架平面设计图，它是由6个大小不同的正方形①～⑥号和1个长方形⑦号组成的大正方形．若正方形③与⑥的周长之和是 $25.2 dm$ ，则长方形⑦号的周长为（）

A、 $9.8 dm$ B、 $11.2 dm$ C、 $12.6 dm$ D、 $14 dm$

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12、【综合与实践】：根据表中的事件背景和素材，完成问题任务．

背景	中国“低空经济”作为战略新动能迅猛崛起，彰显高质量发展新活力．依托自主创新的科技突破，国产无人机正深度赋能社会治理与公共服务，以前沿技术切实提升人民生活品质．
素材1		我市某生态农业公司欲购进 $A$ ， $B$ 两种型号的植保无人机用来喷洒农药， $A$ 型机比 $B$ 型机平均每小时少喷洒2公顷农田， $A$ 型机喷洒 $40$ 公顷农田所用时间与 $B$ 型机喷洒 $50$ 公顷农田所用时间相等．
素材2	若该生态农业公司共购进 $20$ 架无人机， $A$ 型无人机5万元/架， $B$ 型无人机6万元/架．
问题解决
任务1	$A ， B$ 两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2	若公司要求这批无人机每小时至少喷洒 $180$ 公顷农田，那么该公司如何购买 $A$ 型和 $B$ 型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．

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13、兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告：

测量对象	兰州白塔山塔高
测量目的	1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神
测量工具	无人机、测角仪等
测量方案	1．先将无人机垂直上升至距水平地面 $50 m$ 的P点，测得白塔的顶端A的俯角为 $22 °$ ， 2．再将无人机沿水平方向飞行 $50 m$ 到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为 $45 °$ ．
测量示意图

请根据以上测量数据，求白塔 $A B$ 的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $sin 22 ° \approx 0.4$ ， $cos 22 ° \approx 0.9$ ， $tan 22 ° \approx 0.4$ ）．

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14、九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程．

(1)、实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为 $10 m$ ．隧道顶部最高处距地面 $6.25 m$ ，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式；

(2)、应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 $0.5 m$ ．为了确保安全，问该隧道能否让最宽 $3 m$ ，最高 $3.5 m$ 的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由．

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15、定义：在 $Rt △ A B C$ 中，若斜边长为c，则称 $Rt △ A B C$ 是c系直角三角形．
例：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，则称 $Rt △ A B C$ 是5系直角三角形．
【任务一：概念理解】①若 $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 是_____________系直角三角形；
②若 $△ A B C$ 是 $\sqrt{5}$ 系直角三角形， $A B = 1$ ，请在图2中画出一个满足条件的 $△ A B C$ ；
【任务二：实践应用】如图3，在以O为原点的平面直角坐标系中， $M (1, 1)$ ，点N在直线 $y = 2 x + 4$ 上， $Rt △ O M N$ 是以M为直角顶点的a系直角三角形，求a的值；
【任务三：拓展提升】已知 $D (- 1, - 1)$ ， $E (1, 3)$ ， $Rt △ D E F$ 是 $2 \sqrt{10}$ 系直角三角形，直线 $l : y = k x + b (k \neq 0)$ 上有且仅有两个满足条件的点F，请在图4中画出一个符合题意的 $Rt △ D E F$ ，并求出k所有可能的取值．

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16、综合与实践
【问题背景】为了对体育节 $4 \times 100$ 米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级 $10$ 个班，分男、女子组进行比赛．
【数据统计】
A．八年级男子组 $4 \times 100$ 米接力成绩统计如下：（单位：秒）
$55.7 、 54.7 、 56.5 、 55.5 、 56 、 56.3 、 54.4 、 56.4 、 56.6 、 54.9$
B．三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的箱线图如下：
【数据分析】
（1）箱线图中x的值为_____________；
（2）比较三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可）
发现：_______________________________________________________
原因：_______________________________________________________
【进阶分析】在 $4 \times 100$ 米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此 $4 \times 100$ 米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的 $100$ 米单项用时之和．
（3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中 $0 \leq x \leq 16$ ），已知当 $x = 8$ 时， $t = 1.0$ ；当 $x = 12$ 时， $t = 1.4$ ．并且接力比赛用时满足：
$4 \times 100$ 米接力成绩 $=$ 四人 $100$ 米单项时间总和 $-$ 三次交接棒总节约时间
①求t关于x的函数表达式；
②已知九（1）班四名选手的 $100$ 米单项用时总和为 $56.4$ 秒，则九（1）班 $4 \times 100$ 米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为 $\underset{˙}{y} \underset{˙}{=} \underset{˙}{k} \underset{˙}{x} \underset{˙}{+} \underset{˙}{b}$ 的形式）
③九（2）班四名男子选手的 $100$ 米单项用时总和比九（3）班快 $1.4$ 秒，但 $4 \times 100$ 米接力成绩比九（3）班慢 $1.3$ 秒，且两个班的交接棒训练时间之和为 $13$ 小时．求九（3）班的交接棒训练时长．

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17、2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中， $∠ G H N : ∠ F G E = 2 : 1$ ， $∠ H G F = 140 °$ ， $G E ∥ M N$ ．

(1)、求 $∠ G H M$ 的度数；

(2)、若 $G H ∥ D E$ ， $∠ A B C = 150 °$ ， $∠ B C E = 68 °$ ， $∠ G E C = 118 °$ ，求证： $G H ∥ A B$ ．

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18、如图，点M，N的坐标分别为： $M (- 2, 1)$ ， $N (6, 2)$ ．

(1)、请在网格中作出平面直角坐标系 $x O y$ ；

(2)、若第一象限内的点P到x轴的距离为4，且 $N P ∥ y$ 轴，请在图中描出点P，并写出点P的坐标；

(3)、在（2）的基础上，作出 $△ M N P$ ，再在图中画出 $△ M N P$ 关于x轴对称的图形 $△ M^{'} N^{'} P^{'}$ （点 $M^{'}$ ， $N^{'}$ ， $P^{'}$ 分别对应点M，N，P）．通过分析两个三角形对应点间的横、纵坐标之间的关系，你能得出什么结论？

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19、小明解关于x，y的二元一次方程组

\{\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 9 ① \\ 3 x - 4 y = 5 ② \end{array}

时的过程如下：

第1步： $① - ②$ 得 $x - y = 4$ ③

第2步： $③ \times 3$ 得 $3 x - 3 y = 12$ ④

第3步： $① - ④$ 得 $x = - 3$

第4步：将 $x = - 3$ 代入③得 $- 3 - y = 4$ ，即 $y = - 7$

所以原方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 7 \end{array}$

(1)、你认为小明的做法从第_____________步开始出现错误；

(2)、请写出正确的解法．

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20、定义两种新运算： $[a, b, c]$ 为 $a, b, c$ 的中位数； $(a, b, c)$ 为 $a, b, c$ 的算术平均数．
例如：①因为 $2 \leq 3 \leq 5$ ，所以 $[3, 2, 5] = 3$ ；② $(3, 4, 8) = \frac{3 + 4 + 8}{3} = 5$ ．
则函数 $y_{1} = [x + 2, - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}, - 2 x + 4]$ 与 $y_{2} = (3 x + 6, - x + 2, - 6 x + 12)$ 的交点坐标为．

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