相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ （ $a > 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $b$ 与 $a$ 的关系；

(2)、如图①，当 $a = \frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 在抛物线上， $S_{△ P B C} = 4$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图②，若抛物线上一点 $Q$ 关于直线 $B C$ 的对称点是 $△ A O C$ 的外心 $M$ ，求 $a$ 的值．

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2、综合与实践

(1)、【初步感知】如图①， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A E \cdot A B = A D \cdot A C$ ， $∠ C A D = ∠ E A B$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、【深入探究】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，点E是线段 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，过点A在 $A E$ 上方作 $F A ⊥ E A$ ，使 $S_{△ A E F} = \frac{1}{2} S_{矩形 A B C D}$ ，连接 $D F$ ，请证明 $△ A B E ∽ △ A F D$ ，并直接写出点F到 $B C$ 的距离的最大值；

(3)、【学以致用】如图③，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D = A B = 8$ ， $B C = 16$ ，点E是线段 $A B$ 的中点，点F是线段 $B C$ 上一点，连接 $E F$ ，过点E在 $E F$ 上方作 $G E ⊥ F E$ ，使 $S_{△ E F G} = \frac{1}{8} S_{梯形 A B C D}$ ，当 $△ A D G$ 的面积最小时，求 $E G$ 的长．

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D是线段 $B A$ 延长线上一点，过点D的直线与 $⊙ O$ 相切于点C，过线段 $O B$ 上一点E作 $A B$ 的垂线交 $D C$ 的延长线于点F，交 $B C$ 于点G．

(1)、求证： $∠ F = 2 ∠ B$ ；

(2)、若 $A O = 4, A D = O E = 1$ ，求 $F G$ 的长．

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4、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + 2$ 的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ $(x < 0)$ 的图象交于点 $B (- 2, 3)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、点 $D (- 6, n)$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 图象上一点，连接 $B D, C D$ ，求 $△ B C D$ 的面积；

(3)、点P在y轴上，满足 $△ P A B$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．

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5、某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．

(1)、求篮球和足球的单价；

(2)、学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的 $\frac{2}{3}$ ，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案．

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6、我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、抽取的学生人数是，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是，补全条形统计图；

(2)、估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？

(3)、甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．

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7、为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角 $∠ A C D = 74 °$ ，最低点B的仰角 $∠ B C D = 73 °$ ，点E到塔底中心O的距离 $O E$ 为 $15$ 米．求五角星高度 $A B$ 大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据： $t a n 74 ° \approx 3.49$ ， $t a n 73 ° \approx 3.27)$

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8、

(1)、请从①、②两个小题中任选一个作答．
①解方程： $x^{2} - (\sqrt{2} + 1) x + \sqrt{2} = 0$ ；
②解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ 2 x + 1 < 5 \end{array}$ ．

(2)、先化简，再求值： $(\frac{x + 3}{x + 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4}$ ，其中x的值是（1）中的正整数解．

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9、如图，已知 $∠ A O B$ ，以点O为圆心，2为半径画弧，交 $O A$ 于点M，交 $O B$ 于点N，分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A O B$ 的内部相交于点C，画射线 $O C$ 交 $\overset{⌢}{M N}$ 于点E，连接 $M C ， N C$ ．

(1)、求证： $∠ A O C = ∠ B O C$ ；

(2)、若 $∠ A O B = 60 °$ ，求 $\overset{⌢}{M E}$ 的长．

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10、计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 c o s 45 ° + π^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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11、四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点O，O是 $A C$ 的中点， $B O = 2 D O$ ，已知 $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $t a n ∠ A C D = \frac{\sqrt{3}}{5}$ ，则 $A C$ 的长为．

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12、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 3, 3)$ ，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点， $∠ B A C = 90 °$ ，则 $O B - O C =$ ．

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13、幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在 $3 \times 3$ （三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 $x^{y} =$ ．

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14、若关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + (a - 1) x - \frac{1}{2} = 0$ 有两个相等的实数根，则 $a =$ ．

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15、2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到 $11.2$ 千米/秒，用科学记数法表示这个速度为米/秒．

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16、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数且 $a \neq 0$ ）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
m
$- 4$
n
$- 4$
s
…
其中 $0 < m < 2$ ．以下结论：① $a b c < 0$ ；②若抛物线经过点 $(- 2, y_{1}), (7, y_{2}),$ 则 $y_{2} > y_{1}$ ；③关于x的方程 $| a x^{2} + b x + c | + 1 - s = 0$ 有两个不相等的实数根；④ $- \frac{16}{3} < s + n < - 4$ ；⑤当 $m = 1 ， t \leq x \leq t + 2$ 时，y的最小值是1，则 $t = 2$ 或4．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、如图①，有一水平放置的正方形 $E F G H$ ，点D为 $F G$ 的中点，等腰 $△ A B C$ 满足顶点A，B在同一水平线上且 $C A = C B$ ，点B与 $H E$ 的中点重合．等腰 $△ A B C$ 以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰 $△ A B C$ 与正方形 $E F G H$ 重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（）

A、 $A B = 4$ B、 $∠ A C B = 90 °$ C、当 $0 \leq t \leq 2$ 时， $y = \frac{1}{2} t^{2}$ D、 $△ E F D$ 的周长为 $9 + 5 \sqrt{3}$

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18、如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，过圆心O作 $O A ⊥ C D$ 于点H，交 $⊙ O$ 于点A， $O H : H A = 3 : 2$ ，点M是 $\overset{⌢}{C B D}$ 上异于C，D的一点，连接 $C M$ ， $D M$ ，则 $s i n ∠ C M D$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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19、如图，在正八边形 $A B C D E F G H$ 中，对角线 $H B$ ， $A C$ 交于点K，则 $∠ A K H$ =（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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20、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，点P是 $A B$ 的中点，连接 $D P$ ，点E是 $D P$ 的中点，连接 $O E$ ，则 $O E$ 的长是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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