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1、已知 $a_{1}$ 为实数，规定运算： $a_{2} = 1 - \frac{1}{a_{1}}, a_{3} = 1 - \frac{1}{a_{2}}, a_{4} = 1 - \frac{1}{a_{3}}, a_{5} = 1 - \frac{1}{a_{4}}, ⋯$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ．按上述规定，当 $a_{1} = 2$ 时， $\sqrt[3]{a_{2025}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、0

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2、根据图中的程序，当输入 $x$ 为 $64$ 时，输出 $y$ 的值是（　　）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $8$

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3、若 $a = \sqrt[3]{7}$ ， $b = \sqrt{5}$ ， $c = 2$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $b \leq c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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4、已知 $a ， b$ 分别是 $\sqrt{5}$ 的整数部分和小数部分，那么 $a \times b$ 的值是（　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} - 4$ C、2 D、5

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5、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图， $\frac{B C}{A B}$ 的值接近黄金比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则下列估算正确的是（）

A、 $0 < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 1$ D、 $1 < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 2$

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6、如果 ${(2 x - y)}^{2} + \sqrt{x + y - 3} = 0$ ，则 $x - y$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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7、已知 $2 a$ 的平方根是 $\pm 2$ ， $3$ 是 $3 a + b$ 的立方根，则 $a - 2 b$ 的值是（）

A、 $- 20$ B、 $- 25$ C、 $- 30$ D、 $- 40$

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8、化简 $| 1 - \sqrt{3} |$ 的值为（）

A、 $1 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $- 1 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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9、下列各数中，是无理数的是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{34}{7}$ C、 $\sqrt{4}$ D、3.1415926

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10、已知两条平行线 $A B$ ， $C D$ ，一块直角三角尺 $E F G (∠ E F G = 90 ° ， ∠ E G F = 30 ° ， ∠ F E G = 60 °)$ ，且点 $E ， F$ 不可能同时落在直线 $A B$ 和 $C D$ 之间．

(1)、如图1，把三角尺的顶点 $E ， G$ 分别放在 $A B ， C D$ 上，若 $∠ B E G = 150 °$ ，则 $∠ F G C$ 的度数为 $°$ ；

(2)、如图2，把三角尺的锐角顶点 $G$ 放在 $C D$ 上，且保持不动，若点 $E$ 恰好落在 $A B$ 和 $C D$ 之间，且 $A B$ 与线段 $E F$ 交于点 $M$ ，若 $∠ B M E = 45 °$ ，求 $∠ F G C$ 的度数；

(3)、把三角尺的锐角顶点 $G$ 放在 $C D$ 上，且保持不动，旋转三角尺，若存在 $∠ F G C = 7 ∠ D G E (∠ D G E < 30 °)$ ，请直接写出射线 $G F$ 与 $A B$ 所夹锐角的度数．

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11、如图，已知 $∠ 1 = ∠ C$ ， $E F ⊥ B C$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ．

(1)、求证： $∠ 2 = ∠ 4$ ；

(2)、试求出 $∠ A D C$ 的度数

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12、如图（1）， $O E ⊥ A B$ ， $O B$ 平分 $∠ C O D$ ．

(1)、如果 $∠ C O D = 130 °$ ，求 $∠ E O C$ 的度数；

(2)、反向延长射线 $O D$ 得 $O F$ ，如图（2），若 $∠ C O F = 90 °$ ，求 $∠ E O C$ 的度数．

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13、已知：如图， $A E ⊥ B C$ 于M ， $F G ⊥ B C$ 于N ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、求证： $A B ∥ C D$ ；

(2)、若 $∠ D = ∠ 3 + 50 °$ ， $∠ C B D = 60 °$ ，求 $∠ C$ 的度数．

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14、把下面解答过程补充完整．如图， $A D ∥ B C$ $, ∠ 1 = ∠ B, ∠ 2 = ∠ 3$ ．

(1)、试说明 $A B ∥ D E$ ；
说明：∵ $A D ∥ B C$ （已知），
∴ $∠ 1 = ∠$ （）．
又∵ $∠ 1 = ∠ B$ （已知），
∴ $∠ B = ∠ D E C$ （等量代换），
∴ $A B ∥ D E$ （）．

(2)、 $A F$ 与 $D C$ 的位置关系如何？为什么？
解： $A F$ 与 $D C$ 的位置关系是，理由如下：
∵ $A B ∥ D E$ （已知），
∴ $∠ 2 = ∠$ （两直线平行，内错角相等）．
又∵ $∠ 2 = ∠ 3$ （已知），
∴ $∠$ $= ∠$ （等量代换），
∴ $A F ∥ D C$ （）．

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15、如图，直线 $A E$ 与 $C D$ 相交于点 $B$ ，射线 $B F$ 平分 $∠ A B C$ ，射线 $B G$ 在 $∠ A B D$ 内．

(1)、若 $∠ D B E$ 的补角是它的余角的 $3$ 倍，求 $∠ D B E$ 的度数；

(2)、在（1 $1$ ）的条件下，若 $∠ D B G = ∠ A B G - 33 °$ ，求 $∠ A B G$ 的度数．

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16、如图，线段 $A B$ 和 $C D$ 表示两面镜子，且直线 $A B ∥$ 直线 $C D$ ，光线 $E F$ 经过镜子 $A B$ 反射到镜子 $C D$ ，最后反射到光线 $G H ．$ 光线反射时， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，下列结论：
$①$ 直线 $E F ∥$ 直线 $G H$ ；
$② ∠ E F G$ 的角平分线所在的直线垂直于直线 $C D$ ；
$③$ 如果 $∠ 1 = 45 °$ ，那么 $F G ⊥ G H$ ；
$④$ 当直线 $A B$ 绕点 $F$ 顺时针旋转 $α °$ ，直线 $C D$ 绕点 $G$ 顺时针旋转 $α °$ 时，直线 $E F$ 与直线 $G H$ 不平行．
其中正确的是．

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17、如图， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 120 °$ ， $∠ C = 25 °$ ，则 $∠ α$ 的度数为°.

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18、如图，点 $O$ 在直线 $A B$ 上， $O D$ 平分 $∠ A O C$ ， $∠ B O E = 3 ∠ C O E$ ， $∠ D O C = 5 0^{∘}$ ，则 $∠ C O E =$ ．

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19、如图， $A B$ 与 $H N$ 交于点 $E$ ，点 $G$ 在直线 $C D$ 上， $G F$ 交 $A B$ 于点 $M$ ， $∠ F M A = ∠ F G C$ ， $∠ F E N = 2 ∠ B E N$ ， $∠ F G H = 2 ∠ H G C$ ，给出下列四个结论：① $A B ∥ C D$ ；② $∠ H G D + ∠ H E B + ∠ H = 360 °$ ；③ $∠ F E N + ∠ F G H = 2 ∠ E H G$ ；④ $3 ∠ B E N - ∠ F = 180 ° - 3 ∠ H G C$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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20、如图， $A B ∥ C D$ ， M是平面内一点，连接MB ， MC ， $∠ M C D$ 的平分线与 $∠ A B M$ 的平分线交于点N ．若 $∠ C N B = 120 °$ ，则 $∠ M$ 的度数为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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