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1、《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的 $\frac{5}{3}$ 倍，求规定时间．设规定时间为 $x$ 天，根据题意，列方程为．

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2、下列方程不是分式方程的是（）

A、 $\frac{x}{3} = \frac{6}{x}$ B、 $\frac{10}{x} = \frac{5}{x - 1}$ C、 $\frac{3 x}{x + 1} = 2$ D、 $\frac{x}{3} = \frac{x}{6} - 3$

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3、阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{2}{x}$ 是分式（填“真”或“假”）；

(2)、将假分式 $\frac{x^{2} + 4}{x - 1}$ 化为带分式；

(3)、如果x为整数，分式 $\frac{6 x - 5}{2 x - 1}$ 的值为整数，求所有符合条件的x的值．

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4、阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： $\frac{x - 1}{x + 2}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ；
假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如：
$\frac{x^{2} + 2 x}{x + 1} = \frac{(x^{2} + 2 x + 1) - 1}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = x + 1 - \frac{1}{x + 1}$ ．

(1)、思考：分式 $\frac{x}{2 x^{2} + 1}$ 是分式（填“真”或“假”）．

(2)、探究：将假分式 $\frac{x^{2} - 6 x + 3}{x - 3}$ 化为带分式．

(3)、拓展：先化简 $\frac{3 x - 4}{x - 2} - \frac{x + 2}{x} \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x}$ ，并求x取何整数时，该式的值为整数．

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5、定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即． $A + B = A \cdot B$ ，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”．
例如：分式 $\frac{1}{x}$ 与分式 $\frac{1}{1 - x}$ ，因为 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x}{x (1 - x)} + \frac{x}{x (1 - x)} = \frac{1}{x (1 - x)}$ ，
$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{x (1 - x)}$ ，所以 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - x}$ ，所以分式 $\frac{1}{x}$ 与分式 $\frac{1}{1 - x}$ “互为关联分式”

(1)、判断分式 $\frac{a - b}{a + b}$ 与分式 $\frac{a - b}{2 b}$ “互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明：

(2)、小明在研究“互为关联分式”时发现：因为 $A + B = A \cdot B$ ，又因为A ， B都不为0，所以 $\frac{A + B}{A \cdot B} = \frac{A \cdot B}{A \cdot B}$ 所以 $\frac{A}{A \cdot B} + \frac{B}{A \cdot B} = \frac{1}{B} + \frac{1}{A} = 1$ ，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式 $\frac{3 m + 5}{2 m + 3}$ 的“关联分式”

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6、观察下面的变化规律，解答下列问题：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ．

(1)、若 $n$ 为正整数，猜想 $\frac{1}{n (n + 1)} =$ _▲_，并且验证你的猜想；

(2)、解分式方程： $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{2 x}$ ；

(3)、利用上述规律计算： $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \frac{1}{9 \times 11} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) \times (2 n + 1)}$ ．

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7、比较 $\frac{a + b}{2}$ 与 $\frac{2 a b}{a + b}$ 的大小（其中 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a \neq b$ ）．

(1)、尝试（用“<”，“=”或“>”填空）：
①当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时， $\frac{a + b}{2}$ $\frac{2 a b}{a + b}$ ；
②当 $a = 4$ ， $b = 3$ 时， $\frac{a + b}{2}$ $\frac{2 a b}{a + b}$ ；

(2)、归纳： $\frac{a + b}{2}$ 与 $\frac{2 a b}{a + b}$ 有怎样的大小关系？试说明理由．

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8、七千年前中国长江流域的先民们就曾种植水稻，到目前国内杂交稻的种植面积有2亿亩.2019年10月21日至22日，被袁隆平看作突破亩产“天花板”关键的第三代杂交水稻，在湖南省衡阳市衡南县清竹村以首次公开测产方式全面亮相，其潜能巨大．如图，“第三代一号”水稻的实验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为n米（m＞n）正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二号”水稻的试验田是边长为（m﹣n）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了a千克．

(1)、试建立代数式，并比较哪种水稻的单位面积产量高？为什么？（提示：m ， n均为正数）

(2)、高的单位面积产量比低的单位面积产量高多少？

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9、计算：

(1)、 $(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ；

(2)、先化简，再求值：
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 3 x} \div (1 - \frac{4}{x + 3})$ ，然后从 $- 3$ ， 0，1，3中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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10、先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$ ，并从 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 这四个数中取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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11、求下列各式的最简公分母，并通分．

(1)、 $\frac{c}{6 a^{2} b}$ ， $\frac{a}{8 b^{2} c^{2}}$ ， $\frac{b}{3 a c^{2}}$ ；

(2)、 $- \frac{x + 2}{2 x + 2}$ ， $\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ， $\frac{3}{8 - 4 x}$ ．

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12、通分：

(1)、 $\frac{x}{x - y}$ ， $\frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ ， $\frac{2}{x^{2} - y^{2}}$ ；

(2)、 $\frac{1}{2 x + 2}$ ， $\frac{3}{x^{2} - 1}$ ， $\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ．

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13、化简下列式子：

(1)、 $\frac{m^{2}}{m + 3} - \frac{9}{m + 3}$ ；

(2)、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} - \frac{2 x y}{x - y}$ ．

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14、计算：

(1)、 $4 a^{2} b \div {(\begin{matrix} - \frac{a}{2 b} \end{matrix})}^{2} \cdot (\begin{matrix} - \frac{b}{8 a} \end{matrix})$ ；

(2)、 ${(\begin{matrix} \frac{a^{2} b}{- c} \end{matrix})}^{3} \cdot {(\begin{matrix} \frac{c^{2}}{- a b} \end{matrix})}^{2} \div {(\begin{matrix} \frac{b c}{a} \end{matrix})}^{4}$ ；

(3)、 ${(\begin{matrix} \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} \end{matrix})}^{2} \div (x + y) \cdot {(\begin{matrix} \frac{x}{x - y} \end{matrix})}^{3}$ ．

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15、计算：

(1)、 $4 a^{2} b \div {(- \frac{a}{2 b})}^{2} \cdot (- \frac{b}{8 a})$

(2)、 ${(\frac{a^{2} b}{- c})}^{3} \cdot {(\frac{c^{2}}{- a b})}^{2} \div {(\frac{b c}{a})}^{4}$

(3)、 ${(\frac{x^{2} - y^{2}}{x y})}^{2} \div (x + y) {(\frac{x}{x - y})}^{3}$

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16、计算：

(1)、 ${(\frac{2}{a})}^{3} =$ ；

(2)、 ${(\frac{4 y}{3 x})}^{2} =$ ；

(3)、 ${(\frac{3 c^{3}}{- a^{2} b})}^{3} =$ ．

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17、计算：

(1)、 ${(\frac{- 2 a}{- b})}^{2} =$ ．

(2)、 ${(- \frac{2 x^{2} y^{4}}{3 z^{3}})}^{3} =$ ．

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18、下列各式中正确的是（）

A、 ${(\frac{3 x^{2}}{2 y})}^{3} = \frac{3 x^{6}}{2 y^{3}}$ B、 ${(\frac{2 a}{a + b})}^{2} = \frac{4 a^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ C、 ${(\frac{x - y}{x + y})}^{2} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ D、 ${(\frac{m + n}{m - n})}^{3} = \frac{{(m + n)}^{3}}{{(m - n)}^{3}}$

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19、分式计算：

(1)、 $\frac{2 x}{5 x - 3} \div \frac{3}{9 - 25 x^{2}} \cdot \frac{x}{5 x + 3}$ ；

(2)、 ${(\frac{a^{2} b}{- c d^{3}})}^{3} \div \frac{2 a}{d^{3}} \cdot {(\frac{c}{2 a})}^{2}$ ．

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20、计算：
$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{12 - 4 x}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{1}{x + 3}$ ．

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