相关试卷

1、综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$
【初步探究】
（1）小明将 $△ A D E$ 绕点A在平面内自由旋转，连接 $B D$ 、 $C E$ 后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段 $B D$ 、 $C E$ 的数量关系，并证明；
【深入探究】
（2）若 $∠ A D B = 90 °$ ，旋转过程中，当点D、点E和 $B C$ 的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段 $B D$ 、 $D O$ 和 $O E$ 的数量关系________．（提示：在线段 $O E$ 上截取线段 $O M$ ，使 $O M = O D$ 并连接 $C M$ ）
【应用探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，若 $∠ B A D = 30 °$ ， $A B = 4$ ，则 $O D =$ ________（直接写出结果）
【拓展探究】（4）如图3，当 $∠ B D C = 60 °$ ， $B D = 6$ ， $A D = 3 \sqrt{14}$ ，则 $C D =$ ________（直接写出结果）

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2、校本课程作为国家和地方课程的重要补充，能够满足学生个性化发展需求、彰显学校办学特色，是搭建家校社协同育人的桥梁．李华作为学生会主席，现需要对某天下午的三节校本课程进行安排，已知三节不同的课程分别是综合实践、诗词吟唱和戏剧表演，每节课只安排一门课程且不重复，根据以上信息回答下列问题．

(1)、第一节是综合实践课的概率为______；（请直接写出结果）

(2)、请用画树状图的方法，求第二节为诗词吟唱课且第三节为戏剧表演课的概率．

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3、汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是 $a ° /$ 秒，灯B转动的速度是 $b ° /$ 秒，且a、b满足 $|a - 3 b| + {(a + b - 4)}^{2} = 0$ ，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 $P Q ∥ M N$ ，且 $∠ B A N = 45 °$ ．


(1)、 $a =$                    ， $b =$                   ；

(2)、若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？

(3)、如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，

①用含t的代数式表示 $∠ B C A =$
②过C作 $C D ⊥ A C$ 交PQ于点D，则在转动过程中，探究 $∠ B A C$ 与 $∠ B C D$ 有怎样的数量关系．

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4、今年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机”，一时间，地摊兴起．小王决定采购甲、乙两种文具到学校附近开摊经营，若采购甲种文具8件，乙种文具3件，需要95元；若采购甲种文具5件，乙种文具6件，需要80元．
（1）求甲、乙两种文具每件各多少元？
（2）小王想采购两种文具共100件，考虑到市场需求和资金周转，用于采购这100件文具的资金多于750元，但不超过765元，那么小王共有哪几种进货方案？请列举出来．

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5、如图，在边长为 $1$ 的正方形网格中，三角形 $A B C$ 中任意一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 经平移后对应点为 $P_{1} (x_{0} - 4, y_{0} + 3)$ ，已知 $A (0, 2)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (- 1, - 1)$ ，将三角形 $A B C$ 作同样的平移得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、画出平移后的图形，并直接写出 $A_{1}$ 坐标； $A_{1}$ （___________，___________），

(2)、三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为___________；

(3)、已知点 $P$ 在 $y$ 轴上，且三角形 $P A C$ 的面积等于三角形 $A B C$ 面积的一半，求 $P$ 点坐标．

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6、某市一研究机构为了了解 $10 ~ 60$ 岁年龄段市民对创建文明城市的关注程度，随机选取了 $100$ 名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别
年龄段
频数(人数)
第 $1$ 组
$10 \leq x < 20$
$5$
第 $2$ 组
$20 \leq x < 30$
$a$
第 $3$ 组
$30 \leq x < 40$
$35$
第 $4$ 组
$40 \leq x < 50$
$20$
第 $5$ 组
$50 \leq x < 60$
$15$
（1）请直接写出 $m =$ ，第 $3$ 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是度；
（2）请补全上面的频数分布直方图：
（3）假设该市现有 $10 ~ 60$ 岁的市民 $180$ 万人，问 $40 ~ 50$ 岁年龄段的关注创建文明城市的人数约有多少？

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7、解不等式组 $\{\begin{cases} 1 - x \leq - 2 \\ 3 (x - 1) < x + 5 \end{cases}$ ，并把解集在数轴上表示出来

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8、解二元一次方程组： $\{\begin{array}{l} 2 x - y = - 2 \\ x + y = 5 \end{array}$

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9、把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数为．

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10、不等式2x+3<-1的解集是：．

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11、已知二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 4 \\ 2 x + y = 5 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的值为．

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12、已知 $M (2, 2)$ ，规定“先作点 $M$ 关于 $x$ 轴对称，再将对称点向左平移 $1$ 个单位”为一次变换．那么连续经过 $2025$ 次变换后，点 $M$ 的坐标变为（　　）

A、 $(- 2023, 2)$ B、 $(- 2023, - 2)$ C、 $(- 2024, - 2)$ D、 $(- 2024, 2)$

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13、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排 $x$ 天精加工， $y$ 天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 140 \\ 16 x + 6 y = 15 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + y = 140 \\ 6 x + 16 y = 15 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 15 \\ 16 x + 6 y = 140 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 15 \\ 6 x + 16 y = 140 \end{array}$

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14、不等式组 $\{\begin{array}{l} 4 x + 2 > 6 \\ 7 - 3 x \geq 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图，直线l₁∥l₂ ， ∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（　　）

A、55° B、60° C、65° D、70°

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16、在平面直角坐标系中，将点 $P (1, - 2)$ 向上平移 $3$ 个单位长度，得到点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(4, - 2)$ B、 $(- 2, - 2)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, - 5)$

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17、如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫做“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”.

(1)、问题发现
如图①，四边形 ABCD是“对称四边形”，对角线AC，BD交于点 O，AC是“对称线”，若AO=4. OC=12，CD=13，则四边形 ABCD的面积是.

(2)、问题探究
如图②，四边形 ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC=45°，∠DCA=30°，AC=6+6 $\sqrt{3}$ P， Q分别为线段 AC， BC上的动点，求 PB+PQ的最小值.

(3)、问题解决
如图③，在平面直角坐标系中. O为坐标原点，已知点 $A (6, 6 \sqrt{3}),$ 过 A作射线 $P Q ‖ x$ 轴，交 y轴于点 P，E为射线 AQ上的动点（不与点 A重合)，G，F分别为线段 AO和 x轴正半轴上的动点，连接 EG， EF，点 M是线段 OE与 GF的交点，并且四边形 EGOF为“对称四边形”，其中 GF是“对称线”. 请问 $△ M E F$ 的面积是否存在最小值?若存在，请求出面积的最小值以及此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由.

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18、在平面直角坐标系中，若点 P的横坐标和纵坐标相同，则称点 P为“幸运点”，如点（-1，-1)，（5，5)都是“幸运点”.

(1)、小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线 L上，请直接写出直线 L的解析式：；

(2)、小芳在研究抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} - b x + 4 (a \neq 0)$ 时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”（2，2). 请你帮她求出 a，b的值.

(3)、在（2）的条件下将抛物线 C₁向下平移 1个单位得到抛物线 C₂ ，若 C₂上有两个“幸运点”分别是M （x₁ ， y₁) ， N （x₂ ， y₂) （其中 $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ 时，求出 C₂中 y的最大值与最小值的差.

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19、如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，过点 D作 DE⊥AC，垂足为点 E，延长CA交⊙O于点 F.

(1)、求证： DE是⊙O的切线；

(2)、若 AF=4， ∠C=30°，求图中阴影部分的面积.

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20、某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如表所示：

甲
乙
进价（元/个)
40
25
售价（元/个)
43
30

(1)、该超市计划用 1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润 210元. 超市购进甲、乙两种水杯各多少个?

(2)、这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量. 已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的 2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大?并求出最大利润.

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组别	年龄段	频数(人数)
第 $1$ 组	$10 \leq x < 20$	$5$
第 $2$ 组	$20 \leq x < 30$	$a$
第 $3$ 组	$30 \leq x < 40$	$35$
第 $4$ 组	$40 \leq x < 50$	$20$
第 $5$ 组	$50 \leq x < 60$	$15$

	甲	乙
进价（元/个)	40	25
售价（元/个)	43	30