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1、阅读下面的材料，并解答问题.
小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB 折到图③所示的AD 处.
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出图④所示的矩形 BCDE.
已知矩形 BCDE 为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，我们称这个矩形为黄金矩形)?

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2、如图，以线段 AB 为边作正方形ABCD，取 AD 的中点 E，连结EB，延长 DA 到点 F，使 EF = EB，以线段 AF 为边作正方形AFGH，点H 在边AB 上，H 是线段AB 的黄金分割点吗?请说明理由.

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3、如图，当圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观.若黄金比取0.6，则β-α的度数是.

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4、如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD 长为AD，BD 长的比例中项.若AD=4，BD=9，则Rt△ABC 的面积为.

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5、如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4.若 D，E 分别是边 BC 上的两个黄金分割点，则△ADE 的面积为( )

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

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6、如图所示为一片小小的树叶，P 为AB 的黄金分割点(AP>PB).如果AB 的长度为 10cm，那么 PB 的长度为( )

A、 $(5 \sqrt{5} - 5) c m$ B、 $(5 + 5 \sqrt{5}) c m$ C、 $(15 - 5 \sqrt{5}) c m$ D、 $(15 + 5 \sqrt{5}) c m$

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7、如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，在 D，E，F 三点中，最接近线段 AB 的黄金分割点的是( )

A、点 D B、点 E C、点 F D、点 D 或点 F

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8、如图，在 Rt△ABC 中，∠B =90°，AB =2BC.先以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交边AC 于点D；再以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边AB 于点 E.求证：E是线段AB 的黄金分割点.

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9、现按照黄金分割将长为4m 的绳子分成两段，若设较长一段的长为x m，则根据题意，可列方程为.

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10、设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.若按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，则该雕像的下部设计高度约为(参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.24)$ ( )

A、0.73m B、1.24m C、1.37m D、1.42m

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11、已知 P 是线段AB 的黄金分割点，且 AP>BP，则下列比例式能成立的是( )

A、 $\frac{A B}{A P} = \frac{A P}{B P}$ B、 $\frac{A B}{A P} = \frac{B P}{A B}$ C、 $\frac{B P}{A P} = \frac{A B}{B P}$ D、 $\frac{A B}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12、已知线段a=1，c=5，线段b 是线段a，c 的比例中项，则线段b 的长为( )

A、2.5 B、 $\sqrt{5}$ C、±2.5 D、 $\pm \sqrt{5}$

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13、如图，在矩形ABCD 中，线段EF，GH 分别平行于AD，AB，它们相交于点 P，点P₁ ， P₂分别在线段 PF，PH 上. $P P_{1} = P G ， P P_{2} = P E ，$ 连结P₁H，P₂F，P₁H 与P₂F 相交于点Q.已知AG：GD=AE：EB=1：2，设AG=a，AE=b.

(1)、四边形 EBHP 的面积四边形GPFD 的面积(填“>”“<”或“=”).

(2)、求证：△P₁FQ∽△P₂HQ.

(3)、设四边形 PP₁QP₂的面积为 S₁ ，四边形 CFQH 的面积为S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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14、如图，∠AOB=60°，P，Q 两点同时从点O出发分别沿OA，OB 方向移动，移动速度分别为 a m/s 和 b m/s.过点 P，Q 分别作PM⊥OB 于点M，QN⊥OA 于点 N.

(1)、求△PMO 与△QNO 的周长之比与面积之比.

(2)、在移动过程中，当点 P 与点 N 重合时，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

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15、如图，D 是等边三角形ABC 的边 BC 上的一点，将等边三角形 ABC 折叠，使点 A 与点D 重合，折痕为 EF(点 E，F 分别在边AB，AC 上).

(1)、当 D 为 BC 的中点时，AE ： BE =

(2)、当D 为BC 的三等分点时，AE： BE=

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16、如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，CM 是∠BCD 的平分线，CM⊥AB，垂足为M， $A M = \frac{1}{3} A B .$ 如果四边形 ABCD 的面积是 $\frac{15}{7}$ ，那么四边形AMCD 的面积是.

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17、如图，在▱ABCD中，E 是BC 上一点，BE：EC=2：1，AE 交BD 于点F.若S△BEF=4，则▱ABCD 的面积为.

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18、如图，在△ABC 中，D，E 分别是边AB，BC上的点，且 DE∥AC，AE，DC 交于点O.若S△BDE ：S△CDE=2： 3，则 S_△DOE：S_△AOC的值为( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{4}{25}$

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19、如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ： DB=2： 3.若△ADE 的周长为 2a，则△ABC 的周长是( )

A、3a B、9a C、5a D、25a

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20、如图，在▱ABCD 中，点 E 在AD 的延长线上，BE 与CD 交于点F.

(1)、求证：△ABE∽△CFB.

(2)、若△DEF 的面积为 4， $\frac{D F}{C F} = \frac{2}{3} ，$ 求△ABE 的面积.

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