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1、证明题：如图，已知 $B$ 为线段 $C D$ 的中点， $A B = E B$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $A C = E D$ ．

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2、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B F$ 是 $A C$ 边上的中线，点 $D$ 在 $B F$ 上，连接 $A D$ ，在 $A D$ 的右侧作等边 $△ A D E$ ，连接 $E F$ ，当 $△ A E F$ 周长最小时，则 $∠ F A E$ 的大小是．

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3、如图， $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 11 cm$ ， $B C = 13 cm$ ，点 $M$ 从 $A$ 点出发向 $C$ 以每秒 $3 cm$ 的速度运动；点 $N$ 从 $B$ 点出发向 $C$ 点以每秒 $1 cm$ 的速度运动．点 $M$ 在点 $N$ 出发 $4 s$ 后开始运动，其中一点到达 $C$ 点时两点都停止运动，分别过 $M$ 和 $N$ 作 $M E ⊥ l$ 于 $E$ ， $N F ⊥ l$ 于 $F$ ．设点 $N$ 的运动时间为 $t$ 秒，则当 $t =$ 秒时，以点 $M, E, C$ 为顶点的三角形与以点 $N, F, C$ 为顶点的三角形全等．

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4、如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $A B$ 上的点，且 $B E = C D$ ， $A D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ，连接 $B F$ ，延长 $F E$ 至 $G$ ，使 $F G = F A$ ，若 $△ A B F$ 的面积为16，则 $△ A F G$ 面积是（）

A、16 B、15 C、14 D、13

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5、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 三点在同一条直线上，连接 $B D$ ， $B E$ ．以下四个结论：① $B D = C E$ ；② $∠ A D B = 45 °$ ；③ $B D ⊥ C E$ ；④ $A D$ 平分 $∠ E D B$ ；其中正确的为（）

A、① B、①② C、①②③ D、①②③④

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ M P N$ ， $P M = P N$ ．若 $A M = 6$ ， $B N = 2$ ，则 $A B =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、10

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $D E$ 垂直平分 $A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ D C B =$ （）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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8、如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为 $1$ ，则 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的关系是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 2 = 2 ∠ 1$ C、 $∠ 2 = 90 ° + ∠ 1$ D、 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$

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9、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ．若 $A B = 10$ ， $B E = 4$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、10 B、6 C、4 D、2

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10、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，如果 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B C = 7$ ，那么 $D E$ 的长是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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11、已知抛物线 $y = x^{2} + a x + a + 1$

(1)、请写出它的图像与 $x$ 轴没有交点的充要条件（ $a$ 的取值范围）；

(2)、若 $\forall x > 0$ ，函数图象在 $x$ 轴上方，求 $a$ 的取值范围．

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12、若二次函数 $y = (x - 2)^{2} - 2$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(x_{1}, 0)$ ， $(x_{2}, 0)$ ，则 $\frac{\sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}}} + \frac{\sqrt{x_{1}}}{\sqrt{x_{2}}} =$ ．

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13、如图，现有棱长为a的8个正方体堆成的一个棱长为2a的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个边长为2a的正方形．如果要求从图中上面4个正方体中拿去2个，而三个视图的形状仍不改变，那么拿去的2个正方体的编号应为．

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14、半圆形纸片的半径为 $2 cm$ ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点 $M$ 与圆心 $O$ 重合，则折痕 $C D$ 的长为 $cm$ ．

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上， $A B = 2 A E$ ， $E C$ ， $B D$ 交于点 $F$ ．若 $B D = 15$ ，则 $D F$ 的长为．

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16、已知点 $(- 2, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 2 x + m$ 的图象上，比较 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填 $> 、 <$ 或 $=$ ）．

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17、（1）【知识储备】如图 $1$ ，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，则 $∠ A + ∠ C =$ $°$ ；
（2）【初步探索】如图 $2$ ， $△ A B P$ 内接于 $⊙ O$ ，将 $△ A B P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得到 $△ A C D$ ，并使点 $B$ 的对应点 $C$ 落在 $⊙ O$ 上，求证：点 $D 、 C 、 P$ 在同一条直线上；
（3）【类比迁移】如图 $3$ ，等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 上任一点（不与 $B 、 C$ 重合）．连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，猜想 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 的数量关系，并进行证明．

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18、数学活动：如图 $1$ ，现有边长为 $60 cm$ 的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．已知在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大（放置时，让水槽的开口平面保持水平）．某数学兴趣小组对水槽的横截面进行了如下探索：

(1)、方案 $①$ ：组员甲提出，把正方形沿一组对边中点所在的直线折叠，形成横截面为等边三角形的水槽（如图 $2$ ）．请你直接写出此时水槽的横截面面积，为 ${cm}^{2}$ ；

(2)、方案 $②$ ：组员乙认为，找到合适的折叠点，按虚线折叠形成横截面为矩形的水槽（如图 $3$ ），就能让通过的水的流量更大；在矩形 $A B C D$ 中，设 $A B = x cm$ ，该水槽的横截面面积为 $y {cm}^{2}$ ，请你写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并求出当 $x$ 取何值时， $y$ 的值最大，最大值又是多少？

(3)、方案 $③$ ：经过小组的进一步讨论，最后把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图 $4$ ）．若 $∠ B A D = ∠ C D A = 120 °$ ，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案 $②$ 比较，确定哪种水槽的水的流量较大．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 为 $A C$ 边上的一点，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径的圆与边 $A C$ 交于点 $D$ ，与边 $A B$ 交于点 $E$ ，且 $C B = C E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C B = 5, C D = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20、在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点 $A$ 离地面的距离 $O A = 0.5$ 米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点 $B$ 处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以 $O$ 为原点， $O B$ 所在的水平线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系．

(1)、求这条抛物线的解析式（不要求写出 $x$ 的取值范围）；

(2)、求火箭落地点 $B$ 到发射点的水平距离 $O B$ ．

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