相关试卷

1、2022年第19届亚运会在杭州举行，吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合，其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和“宸宸”（如图）的图片成中心对称的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2、综合运用：如图，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + \frac{3}{4}$ 与x轴交于点 $A (- 3, 0)$ ，点B，点D是抛物线 $y_{1}$ 的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点 $C (- 1, 0)$ ．

(1)、求抛物线 $y_{1}$ 所对应的函数解析式；

(2)、如图1，点M是抛物线 $y_{1}$ 上一点，且横坐标为m，连接 $M C$ ，若 $∠ M C B = ∠ D A C$ ，求m的值；

(3)、如图2，将抛物线 $y_{1}$ 平移后得到顶点为B的抛物线 $y_{2}$ ，点P为抛物线 $y_{1}$ 上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线 $y_{2}$ 于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线 $y_{2}$ 于点R．当以点P、Q、R为顶点的三角形与 $△ A C D$ 全等时，请直接写出点P的坐标．

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3、综合探究：在校园“创客工坊”的桌面设计实践探究活动中，同学们拿到一块直角三角形木质板材，开展“实用小桌面”的设计与制作探究．已知木板的一条直角边 $B C$ 长 $2 m$ ，整体面积为 $1.5 m^{2}$ ，请结合图形完成以下探究任务：

(1)、小明率先设计了正方形桌面方案，如图1所示，则正方形 $D C F E$ 的边长为 $m$ ；

(2)、请你在图2中设计另一种正方形桌面 $M N P Q$ ，但不同于小明的方案，使得正方形的一边落在斜边 $A B$ 上，另两个顶点分别落在 $A C$ 、 $B C$ 上，并求出你所设计的正方形的边长．

(3)、如图3，在第（2）问的条件下，把正方形桌面改为矩形桌面，问矩形桌面是否存在最大值？若存在，求出该最大值及此时矩形桌面的长和宽，若不存在，请说明理由．（以上作图只需画出示意图，不要求尺规作图）

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4、综合与实践：如图①，是一座抛物线型拱桥，小马学习二次函数后，受到该图的启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴 $C D$ 与水平线 $A D$ 垂直， $C D = 9$ ，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离 $A D = 3$ ，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．

(1)、请在图②建立合适的平面直角坐标系，并帮小马求出该抛物线的表达式；

(2)、为更加稳固，小马想在 $C D$ 上找一点P，加装拉杆 $P A$ ， $P B$ ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小马找到点P的位置，并求出点P坐标和它们的长度和的最小值．

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5、图1为某厂家设计的一款亮度可调的 $L E D$ 台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻 $R_{2}$ 来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中 $R = R_{1} + R_{2}$ ，已知 $R_{1} =$ $5 Ω$ ，实验测得当 $R_{2} = 25 Ω$ 时， $I = 0.3 A$ ．

(1)、求I关于R的函数表达式．

(2)、经测试，当电流在 $0.1 ~ 0.25$ 之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻 $R_{2}$ 的取值范围．

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6、如图， $A B$ 是半圆O的直径，点D是弦 $A C$ 延长线上一点，连接 $B D$ ， $B C$ ，且 $∠ D = ∠ A B C$ ．

(1)、求证： $B D$ 是半圆O的切线；

(2)、当 $B C = 12$ 时， $B D = 13$ ，求 $A C$ 的长．

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7、为拓展学生科技视野，培养科学探索精神，某校将组织学生前往科技研发中心开展研学活动，本次研学提供3个科技研发中心供学生选择：A．松山湖材料实验室，B．东莞中山大学研究院，C．松山湖散裂中子源，每名学生只能任意选择其中一个科技研发中心．

(1)、李明同学选择A科技研发中心的概率为________；

(2)、请用画树状图或列表的方法，求李明和王丽两位同学恰好选择同一个科技研发中心的概率．

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8、如图，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ D B E$ ，点C的对应点E恰好落在 $A B$ 的延长线上，连接 $A D$ ．

(1)、求 $∠ A D B$ 的度数；

(2)、若 $A B = 8$ ，点M为 $A B$ 的中点，求点M在 $△ A B C$ 旋转过程中所经过的路径长．

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9、如图， $⊙ O$ 是正六边形ABCDEF的外接圆，已知正六边形的边长为 $4 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积为．

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10、已知点 $A (1, y_{1})$ ， $B (3, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，如果 $y_{1} > y_{2}$ ，那么 $k =$ （请写出一个符合条件的k值）．

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11、如图，一次函数 $y = x (x \geq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交 $y = x$ 的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论：
①点C的坐标为 $(3, 3)$ ；
②当 $x > 3$ 时，一次函数的值小于反比例函数的值．
③将直线 $O C$ 向上平移k个单位后与反比例函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象一定有交点．
④连接 $A C$ ， $O A$ ，则 $△ O A C$ 的面积为12．
其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 $180 °$ ，母线长为 $40 cm$ ，则该圆锥的底面圆的半径为（）

A、 $18 cm$ B、 $20 cm$ C、 $22 cm$ D、 $24 cm$

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13、如图，四边形 $A B C D$ ， $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A， $A^{'}$ 的坐标分别为 $(2, 0)$ ， $(3, 0)$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积为8，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为（）

A、12 B、18 C、24 D、27

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14、如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为 $5 cm$ ， $\frac{A O}{B O} = \frac{D O}{C O} = \frac{1}{2}$ ，则容器的内径 $B C$ 的长度为（）

A、 $5 cm$ B、 $8 cm$ C、 $10 cm$ D、 $12 cm$

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15、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $D B$ 平分 $∠ A D C$ ，若 $∠ A B C = 80 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $80 °$

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16、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数

a ， b ， c ， d

，其中，

a > b ， c > d

”为条件进行了延伸探究．

【结论初探】

（1）小明发现 $a + c > b + d$ ，并给出了如下说理过程．

$∵ a > b ， c > d$ ，

$∴ a + c > b + c ， c + b > d + b ．$

$∴ a + c > b + c > d + b ．$

$∴ a + c > b + d ．$

请判断 $a c$ 与 $b d$ 的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由；

【作图再探】

（2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论：

①如图1，在射线 $O M$ 上截取 $O A = a ， O B = b$ ，因为 $a > b$ ，则点 $B$ 落在线段 $O A$ 上；

②分别在 $B A$ 的延长线、 $O B$ 的延长线上截取 $A C = c ， B D = d$ ，则 $B C = a - b + c > d$ ，则点 $D$ 落在线段 $B C$ 上；

③由图1可知， $O C = a + c ， O D = b + d$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上，所以， $O C > O D$ ，即 $a + c > b + d$ ．

小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明 $a c$ 与 $b d$ 的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点 $A ， B$ ；作射线 $O N ⊥ O M$ ， ……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明 $a c$ 与 $b d$ 的大小关系；

【拓展延伸】

（3）请进一步探究：若 $C D$ 为 $△ A B C$ 的高， $A C \cdot B C$ 与 $C D \cdot A B$ 之间具有怎样的大小关系；

【结论应用】

（4）如图3，四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ，垂足为 $O$ ，判断 $A B \cdot B C + C D \cdot A D$ 与 $A C \cdot B D$ 的大小关系并说明理由．

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18、综合与实践

停车场的收费方案选择问题
素材一	小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案．方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费 $1.5$ 元（不足1小时按1小时计算）．方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）．
素材二	小张平均每月上班22天，每天停车时间相同．
解决问题
问题1	若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元．
问题2	若小张上班期间每天停车 $t$ 小时（ $t$ 为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由．
问题3	已知方案二的月卡价格调整为 $m$ 元（ $m$ 为整数，且 $0 < m < 99$ ）． ①若小张上班期间每天停车 $7.5$ 小时，要使两种方案平均每月费用相同，求 $m$ 的值； ②若小张上班期间每天停车时间在 $8.5 ~ 10$ 小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的 $\frac{5}{3}$ 倍少63元，求 $m$ 的值．

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19、【基础回顾】
（1）如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $l$ 经过点 $A$ ，分别从点 $B$ ， $C$ 向直线 $l$ 作垂线，垂足分别为 $D$ ， $E$ ．求证： $△ A B D ≌ △ C A E$ ；
【变式探究】
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，直线 $l$ 经过点 $A$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在直线 $l$ 上，如果 $∠ C E A = ∠ A D B = ∠ B A C$ ，求证： $E D = B D + C E$ ；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 为一边向外作 $△ B A D$ 和 $△ C A E$ ，其中 $∠ B A D = ∠ C A E = 90 °$ ， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ， $A G$ 是边 $B C$ 上的高．延长 $G A$ 交 $D E$ 于点 $H$ ，设 $△ A D H$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A E H$ 的面积为 $S_{2}$ ，猜想 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 大小关系，并说明理由．

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20、【教材原题】
（1）通过第 $16$ 章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
如图①可以得到的公式为_____；
如图②可以得到的公式为_____；
【探索发现】
（2）现有长与宽分别为 $a 、 b$ 的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件， ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 和 $4 a b$ 之间的等量关系为_____；
【结论应用】
（3）①若 $x + y = 10 ， x^{2} + y^{2} = 40$ ，则 $x y =$ _____；
②当 $(x - 300) (200 - x) = 2025$ 时，求 ${(2 x - 500)}^{2}$ 的值；
【拓展提升】
（4）如图④，若大正方形的边长为 $x$ ，小正方形的边长为 $\frac{1}{x}$ ，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____．

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