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相关试卷

1、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 3, 1)$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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2、若向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ， $\vec{c} = (2, - 4)$ ，且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{8}{13}, \frac{12}{13})$ B、 $(- \frac{8}{13}, \frac{12}{13})$ C、 $(8, 12)$ D、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

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3、复数z =（a²-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是

A、3 B、-2 C、-1 D、1

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4、化简 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C D}$ C、 $\vec{D C}$ D、 $\vec{D B}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{2} c = b + \sqrt{2} a \cos B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 1, \cos C = \frac{3}{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中 $\overset{⃑}{A D} = \frac{2}{5} \overset{⃑}{A B}$ ，点 $E$ 为 $A C$ 中点，点 $F$ 为 $B C$ 的三等分点，且靠近点 $C$ ，设 $\overset{⃑}{C B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{C A} = \overset{⃑}{b}$ ， $∠ A C B = 60^{°}$ ， $A C = 2$ ，且 $C D ⊥ E F$ ， $C D$ 与 $E F$ 交于点 $N$ .

(1)、求 $|\overset{⃑}{C D}|$ ；

(2)、若点 $M$ 为线段 $E F$ 上的任意一点，连接 $C M, D M$ ，求 $\overset{⃑}{C M} \cdot \overset{⃑}{M D}$ 的取值范围.

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7、已知复数 $z = (2 m^{2} - 3 m - 2) + (m^{2} - 3 m + 2) i$ ．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数 $z$ 是纯虚数；
（Ⅱ）当 $m = 0$ 时，化简 $\frac{z^{2}}{z + 5 + 2 i}$ ．

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8、已知 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，求：

(1)、 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ ；

(2)、 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ .

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9、在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且 $a sin B = 2 \sqrt{3}$ ，则角A=；若角A的平分线为AD，则线段AD的长为.

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10、已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ ，则该圆锥的表面积为．

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11、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\tan A + \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{a \cos B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{6}$ B、若 $a = 2$ ，则该三角形周长的最大值为6 C、若 $△ A B C$ 的面积为2，a，b，c边上的高分别为 $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ ，且 $h_{1} h_{2} h_{3} = t$ ，则 $t^{2}$ 的最大值为 $24 \sqrt{3}$ D、设 $\vec{B D} = \frac{c}{2 b + c} \vec{B C}$ ，且 $A D = 1$ ，则 $b + 2 c$ 的最小值为 $\frac{9 \sqrt{7}}{7}$

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12、下列说法中正确的（）

A、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、向量 $\overset{⃑}{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、非零向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| > |\overset{⃑}{b}|$ 且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 同向，则 $\overset{⃑}{a} > \overset{⃑}{b}$ D、非零向量 $\overset{⃑}{a}$ 和 $\overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $30^{°}$

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13、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的两根，则（）

A、 $z_{1} + z_{2} = 1$ B、 $|z_{1}| = |z_{2}| = 1$ C、 $z_{1}^{2} = {\bar{z}}_{2}$ D、 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \in R$

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14、如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为 $2 \sqrt{15} km$ ， B是母线SA上一点，且 $A B = 2 km$ .为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡.当公路长度最短时，下坡路段长为（）

A、 $\sqrt{6} km$ B、3km C、3.6km D、 $\sqrt{15} km$

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15、已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为 $\frac{4 π}{3}$ 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是

A、 $24 \sqrt{3}$ B、 $18 \sqrt{3}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，那么 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是（）．

A、 $(\frac{11 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{11}{5}, \frac{22}{5})$ D、 $(\sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$

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17、已知平面向量 $\vec{p} = (1, 2)$ ， $\vec{q} = (m, - 3)$ ， $\vec{p} ∥ \vec{q}$ ，则 $m =$ （）

A、6 B、 $- 6$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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18、 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、0 D、 $- 1$

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19、设 $n \geq 3$ ，对于数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若对任意 $k \in \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 与 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{n}$ 均为非负数或者均为负数，则称数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列.

(1)、判断数列 $\sin 0$ ， $\sin \frac{π}{2}$ ， $\sin π$ ， $\sin \frac{3 π}{2}$ ， $\sin 2 π$ 与数列 $\cos 0$ ， $\cos \frac{π}{2}$ ， $\cos π$ ， $\cos \frac{3 π}{2}$ ， $\cos 2 π$ 分别是否为强数列；

(2)、若存在公比为负数的等比数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ ，使得它为强数列，求公比q的取值范围；

(3)、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列.

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20、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 8 \sin (x + φ)$ ，其中 $|φ| \leq π$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的零点个数；

(3)、若 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $φ$ 的取值范围.

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