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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，现有下列四个条件： $① a = \sqrt{3}$ ； $② b = 2$ ； $③ c o s 2 A + c o s A = 0$ ； $④ a^{2} + c^{2} - b^{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} a c$ ．

(1)、 $③ ④$ 两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

(2)、已知 $△ A B C$ 同时满足上述四个条件中的三个，请选择使 $△ A B C$ 有解的三个条件，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、已知复数 $z = 1 + m i (i$ 是虚数单位， $m \in R)$ ，且 $\bar{z} \cdot (3 + i)$ 为纯虚数 $(\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数 $)$

(1)、求实数 $m$ 及 $| z |$ ；

(2)、设复数 $z_{1} = \frac{a - i^{2223}}{z}$ ，且复数 $z_{1}$ 对应的点在第二象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c s i n B = b c o s C$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{13}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、已知：复数 $z = (1 + i)^{2} + \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $z$ 及 $| z |$ ；

(2)、若 $z^{2} + a \bar{z} + b = 2 + 3 i$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值．

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5、已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 5$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 7$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、当向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 垂直时，求实数 $k$ 的值．

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6、如图，在同一个平面内，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 的模分别为 $1$ ， $1$ ， $\sqrt{2}$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $α$ ，且 $t a n α = 7$ ， $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $45 ° .$ 若 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m, n \in R)$ ，则 $m + n =$ ．

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7、水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图如图所示，已知 $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $A B$ 边上的中线的实际长度为．

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8、在 $△ A B C$ 中，下列命题正确的是( )

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 定为等腰三角形 C、若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，则 $△ A B C$ 定为直角三角形 D、若三角形的三边的比是 $3$ ： $5$ ： $7$ ，则此三角形的最大角为钝角

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9、如果平面向量 $\vec{a} = (2, - 4)$ ， $\vec{b} = (- 6,12)$ ，那么下列结论中正确的是( )

A、 $| \vec{b} | = 3 | \vec{a} |$ B、 $\vec{a} / / \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(- 2,4)$

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10、已知复数 $z = 1 + \sqrt{3} i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，复数 $ω = \frac{\bar{z}}{z}$ ，则下列结论正确的是( )

A、 $ω$ 对应的点在复平面的第二象限 B、 $| ω | = 1$ C、 $ω$ 的实部为 $- \frac{1}{2}$ D、 $ω$ 的虚部为 $\sqrt{3}$

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11、已知 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值是( )

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- 1$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c c o s B + b c o s C = a s i n A$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + a^{2} - c^{2})$ ，则 $B =$ ( )

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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13、已知 $| \vec{a} | = 2$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影数量为 $\sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为( )

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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14、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{D E} =$ ( )

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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15、已知 $z = 2 - i$ ，则 $z (\bar{z} + i) =$ ( )

A、 $6 - 2 i$ B、 $4 - 2 i$ C、 $6 + 2 i$ D、 $4 + 2 i$

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16、一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )

A、 B、 C、 D、

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17、设函数 $f (x) = (x + 2) l n (x + 1) - a x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线斜率为1．

(1)、求a的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求证： $x f (x) \geq 0$ ．

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18、已知 $f^{'} (x_{0}) = a$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0} - 3 Δ x)}{2 Δ x}$ 的值为（）

A、－2a B、2a C、a D、 $\frac{a}{2}$

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19、实数k为何值时，复数(1＋i)·k²－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：

(1)、实数？

(2)、虚数？

(3)、纯虚数？

(4)、零？

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20、

(1)、化简下列各式：
① $2 (\vec{a} + \vec{b}) - 2 (\vec{a} - \vec{b})$ ；
② $\vec{P A} + \vec{D C} - \vec{P B} - \vec{D A}$ .

(2)、已知向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ de 夹角为 $\frac{π}{3}$ .
①求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；
②求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ .

(3)、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (3, - 1)$ .
①求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ；
②若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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