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相关试卷

1、已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且 $9 a_{n} a_{n + 1} = a_{n} - 4 a_{n + 1}$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 、数列 ${4^{n} a_{n} a_{n + 1}} 、$ 数列 ${\frac{n a_{n}}{1 + 3 a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 R_{n} 、 T_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < \frac{1}{5}$ B、 $S_{n} < \frac{4^{n + 1}}{3} - 4$ C、 $R_{n} < \frac{1}{3}$ D、 $T_{n} < \frac{4}{9} - \frac{n + 1}{4^{n + 1}}$

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, B B_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A, B, E, D_{1}$ 四点共面 B、 $D F ⊥ B E$ C、直线 $A F$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$ D、点 $E$ 到直线 $D_{1} F$ 的距离为1

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3、已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, 0]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, 0]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, O$ 为坐标原点， $P$ 为 $C$ 左支上一点， $P F_{2}$ 与 $C$ 的右支交于点 $Q, Q F_{1}$ 中点为 $M$ ，若 $P M ⊥ Q F_{1}, M O ⊥ Q O$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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5、若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、0或2 B、0或 $- 1$ C、2 D、 $- 1$

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6、 “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米 $38 k g$ ，则该“方斗”可盛米的总质量为（）

A、 $152 k g$ B、 $133 k g$ C、 $114 k g$ D、 $112 k g$

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7、在 $(3 x - 1) {(x + 1)}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、20 B、25 C、30 D、35

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8、若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} （ n \geq 3$ 且 $n \in N^{*} ）$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9、若角 $α$ 的终边经过点 $(1, - 1)$ ，则 $\frac{s i n α + 3 c o s α}{6 c o s α - 2 s i n α}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + 5 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11、莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数 $n$ 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式： $n = p_{1}^{r_{1}} p_{2}^{r_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{r_{k}}$ （ $k$ 为 $n$ 的质因数个数， $p_{i}$ 为质数， $r_{i} \geq 1, i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k$ ），例如： $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$ ，对应 $k = 3, p_{1} = 2, p_{2} = 3, p_{3} = 5, r_{1} = 1, r_{2} = 2, r_{3} = 1$ ．现对任意 $n \in N^{*}$ ，定义莫比乌斯函数 $μ (n) = {\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ {(- 1)}^{k}, r_{1} = r_{2} = \cdot \cdot \cdot = r_{k} = 1 \\ 0, 存在 r_{i} > 1 \end{array}$

(1)、求 $μ (78), μ (375)$ ；

(2)、若正整数 $x, y$ 互质，证明： $μ (x y) = μ (x) μ (y)$ ；

(3)、若 $n > 1$ 且 $μ (n) = 1$ ，记 $n$ 的所有真因数（除了1和 $n$ 以外的因数）依次为 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{m}$ ，证明： $μ (a_{1}) + μ (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + μ (a_{m}) = - 2$ ．

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12、某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 $n (n \geq 3, n \in N^{*})$ 位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知 $A$ 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.

(1)、若 $n = 3$ ，用 $X$ 表示 $A$ 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 $X$ 的均值；

(2)、记 $A$ 团队第 $k (1 \leq k \leq n - 1, k \in N^{*})$ 位成员上场且闯过第二关的概率为 $p_{k}$ ，集合 ${k \in N^{*} | p_{k} < \frac{3}{128}}$ 中元素的最小值为 $k_{0}$ ，规定团队人数 $n = k_{0} + 1$ ，求 $n$ .

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13、已知 $f_{n} (x) = {(1 + x)}^{n}$ .

(1)、若 $g (x) = f_{6} (x) + 2 f_{7} (x) + 3 f_{8} (x)$ ，求 $g (x)$ 中含 $x^{6}$ 项的系数；

(2)、若 $f_{2024} (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2024} x^{2024}$ ，求 $a_{1} + a_{3} + ⋯ + a_{2021} + a_{2023}$ 的值；

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14、已知函数 $f (x) = e^{2 x} (2 + \frac{1}{x} + a l n x)$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (e) = e^{2 e - 1}$ ，求a的值，并求出 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 0$ ， $g (x) = f (x) \cdot e^{- 2 x}$ ，求 $g (x)$ 最小值的最大值．

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15、方程 $a y = b^{2} x^{2} + c$ 中的 $a, b, c \in {- 3, - 2, 0, 1, 2, 3}$ ，且 $a, b, c$ 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有条．

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16、 ${(1 + \sqrt{2})}^{5} + {(1 - \sqrt{2})}^{5} =$ .

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17、已知 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为.

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18、某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”， $B$ 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标 $ξ$ 服从正态分布 $N (5.40, 0.0 5^{2})$ ，现从中随机抽取 $M$ 个，这 $M$ 个芯片中恰有 $m$ 个的质量指标 $ξ$ 位于区间 $(5.35, 5.55)$ ，则下列说法正确的是（）（若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6826, P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9974$ ）

A、 $P (B | A) > P (B)$ B、 $P (A | B) < P (A | \bar{B})$ C、 $P (5.35 < ξ < 5.55) \approx 0.84$ D、 $P (m = 45)$ 取得最大值时， $M$ 的估计值为53

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19、抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X ，则“ $X > 3$ ”表示的试验的结果有（）

A、第一颗为5点，第二颗为1点 B、第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C、第一颗为6点，第二颗为1点 D、第一颗为6点，第二颗为2点

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20、重庆市高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ， B^＋， B ， C^＋， C ， D^＋， D ， E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试地理科目的原始成绩 $X \sim N (50,256)$ ，那么D等级的原始分最高大约为（）
附：①若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ， $Y = \frac{X - μ}{σ}$ ，则 $Y ∼ N (0, 1)$ ；
②当 $Y \sim N (0,1)$ 时， $P (Y \leq 1.5) \approx 0.9$ .

A、23 B、29 C、26 D、43

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