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相关试卷

1、“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .已知点P为 $△ A B C$ 的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b^{2} = {(a - c)}^{2} + 6$ ，求 $P A \cdot P B + P B \cdot P C + P A \cdot P C$ 的值；

(3)、若 $A C ⊥ B C$ ， $P A + P B = λ P C$ ，求实数 $λ$ 的最小值.

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{2} + m$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上有相异两解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
①求实数m的取值范围；
②当 $t = x_{1} + x_{2}$ 时，函数 $g (t) = a \sin t + b \cos t (a b \neq 0)$ 取最大值，设 $\cos θ = \frac{b}{a}$ ，求 $\cos 3 θ$ .

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3、如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $C D = 5$ ， $A B = 2$ .

(1)、求线段AC的长度；

(2)、求 $\sin ∠ A D C$ 的值.

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4、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $|\vec{c}| = 5$ ，且 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量（用坐标表示）.

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5、已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，其中 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ ；

(2)、求 $β$ .

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6、在非钝角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是 $△ A B C$ 的重心且 $4 - \cos 2 A = 3 \sqrt{3} \sin (B + C)$ ，则角 $A =$ ；若 $b = 4$ ， $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $c =$ .

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7、已知 $\cos (θ - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 θ - \frac{π}{6}) =$ ．

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8、如图，已知 $⊙ O$ 的内接四边形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $A D = C D = 3$ ，则（）

A、四边形ABCD的面积为 $\frac{21}{4}$ B、该外接圆的半径为 $\frac{\sqrt{57}}{3}$ C、过D作 $D F ⊥ B C$ 交BC于F点，则 $\vec{D C} \cdot \vec{D F} = \frac{27}{4}$ D、 $\vec{B O} \cdot \vec{C D} = - 3$

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9、已知 $\frac{\sin α}{\sin α - \cos α} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\tan α = \frac{4}{3}$ B、 $\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{7}$ C、 $\cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\cos 2 α = - \frac{7}{25}$

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10、下列有关向量的说法，正确的有（）

A、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{B C}$ 的夹角为60° B、两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 C、若 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 6)$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 D、已知非零向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{D C}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ，则A，B，C，D四点构成一个梯形

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11、在 $△ A B C$ 中，点D是边 $A C$ 的中点，且 $B D = 2 \sqrt{3}$ ，若点P为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P B} \cdot (\vec{P A} + \vec{P C})$ 的最小值是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- 6$

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{2 \sin C}{\sin A + \sin B} = \frac{a - b}{c}$ ，则角 $C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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13、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 10$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的a的值可以为（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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14、 $\frac{1 - 2 \sin^{2} 35^{\circ}}{\sqrt{1 - \sin 40^{\circ}} - \cos 20^{\circ}}$ 的值等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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15、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的非零向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $- 8$

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16、函数 $y = 3 x - 2$ 的零点是（）

A、 $- 2$ B、 $(0, - 2)$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $(\frac{2}{3}, 0)$

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17、给定正整数 $k \geq 2$ ，设集合 $A_{(n, k)} = \{(a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} \in \{1, \cdot \cdot \cdot, k\}\}$ ，若集合 $T \subseteq A_{(n, k)}$ ，且T中存在元素 $(a_{1}^{(1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(1)}), \cdot \cdot \cdot, (a_{1}^{(n + 1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(n + 1)})$ （ $(1), \cdot \cdot \cdot, (n + 1)$ 是为了区分元素而设置的角标），对任意的 $i \in \{1, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 满足 $a_{i}^{(1)} = \cdot \cdot \cdot = a_{i}^{(i)} < a_{i}^{(i + 1)} = \dots = a_{i}^{(n + 1)} (n \geq 1)$ ，则称集合T为集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”．

(1)、写出集合 $A_{(2, 2)}$ 的所有“典范子集”；

(2)、设集合 $A_{(2, 3)}$ 的子集 $T_{1}, \cdot \cdot \cdot, T_{s}$ 均不是集合 $A_{(2, 3)}$ 的“典范子集”，且 $T_{1} \cup \cdot \cdot \cdot \cup T_{s} = A_{(2, 3)}$ ，求s的最小值；

(3)、若集合 $A_{(n, k)}$ 的任意元素个数为m的子集都是集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）．

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18、设三角形 $A B C$ 满足 $b (1 - \cos C) = c \cos B$ ，其中 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边．

(1)、证明： $A C = B C$ ；

(2)、设三角形 $A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 靠近 $A$ 的三等分点，且 $A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，将三角形 $A B C$ 向上翻折（如图），若平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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19、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (x - b) (a, b \in R, a < b)$ .

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点， $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，且 $x_{3} \neq x_{1}, x_{3} \neq x_{2}$ .是否存在实数 $x_{4}$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求 $x_{4}$ ；若不存在，说明理由.

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20、小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.

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