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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A, B$ ，实轴 $|A B| = 2$ ，且左焦点 $F$ 到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 左右两支于 $N, M$ 两点（点 $M$ 位于第一象限），直线 $A M$ 与 $B N$ 相交于点 $T$ .
（i）求证：点 $T$ 在定直线上；
（ii）求证：射线 $F T$ 平分 $∠ M F B$ .

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2、已知动圆 $M$ 经过点 $P (2, 0)$ ，且与直线 $l : x = - 2$ 相切.
（1）求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程；
（2）已知 $A, B$ 是（1）中的轨迹上的两个动点， $O$ 为坐标原点，且直线 $O A$ 与 $O B$ 的斜率之积为 $- 3$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点，并求出定点的坐标.

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3、已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x ， P Q$ 是过其焦点 $F$ 的一条弦，若 $|P Q| = 6$ ，则直线 $P Q$ 的斜率为

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4、若向量 $\vec{a} = (1, 1, 2), \vec{b} = (2, x, y)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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5、如图，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动（ $P$ 点异于 $B$ ， $C_{1}$ 点），则下列结论正确的是（）.

A、异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积不变 D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D_{1} C_{1} B$ 所成角正切值的取值范围为 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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6、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（）

A、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2 \sqrt{3}$ B、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、双曲线C的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $|\vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}}| \geq 2 \sqrt{3}$

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7、设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，且 $\frac{\sqrt{3}}{3} \leq k < 1$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{4}) \cup [\frac{2 π}{3}, π)$ B、 $[0, \frac{π}{4}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ D、 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{4})$

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8、已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、12 B、10 C、6 D、4

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为 $P D$ 中点.

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $A E C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ .第2组 $[25, 30)$ .第3组 $[30, 35)$ .第4组 $[35, 40)$ .第5组 $[40, 45]$ .

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.

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11、已知P是直线l： $3 x + 4 y - 8 = 0$ 上一动点，过点P作圆C： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则 $∠ M P N$ 的最大值为.

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左焦点为 $F, A 、 B$ 是 $C$ 上关于原点对称的两点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则 $△ A B F$ 的周长为．

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13、已知直线 $y = x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，则 $|M N| =$ .

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14、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $P$ ，且 $|P F_{1}| = 4, F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 ${F^{'}}_{1}$ ，过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 与椭圆长轴交于点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ B、 $|P M| = 3 \sqrt{3}$ C、点 ${F^{'}}_{1}$ 在以 $F_{2}$ 为圆心，16为半径的圆上 D、 $|F_{1} M| : |F_{2} M| = 1 : 2$

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15、已知圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ ，则（）．

A、圆 $C_{2}$ 的半径为4 B、y轴为圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公切线 C、圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共弦所在的直线方程为 $x + 2 y - 2 = 0$ D、圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上共有3个点到直线 $2 x - y - 2 = 0$ 的距离为1

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16、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $∠ F_{1} P O = \frac{π}{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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17、已知圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，点 $A$ 是圆 $C$ 上一动点，点 $B (3, 0)$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则动点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$

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18、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 4 x$

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19、若 $a, b, c \in R$ ，则下列命题中错误的是（）

A、若 $a > b > c$ 且 $a c < 0$ ，则 $a b^{2} > c b^{2}$ B、若 $a > b > 0$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}$ C、若 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} < b + \frac{1}{a}$

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - k x - 8$ 在 $[3, 4]$ 上不具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(6, 8)$ B、 $(- \infty, 6] \cup [8, + \infty)$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 6]$

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