四川省成都市石室中学2024-2025学年高三下学期二诊模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2025-03-15 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x ∣ x + 1 \leq 0\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} + x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ C、 $\{x ∣ x > - 2\}$ D、 ${x ∣ - 2 < x \leq - 1}$

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2. 已知平面向量 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，两个非零向量 $\vec{m} = x \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = (3 x - 2) \vec{a} - \vec{b}$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1或 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$

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3. ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中系数最大的项为（）

A、第3项 B、第4项 C、第5项 D、第6项

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4. 已知 $|z - 1| = |z - i| (z \neq 0)$ ，则在复平面内 $\frac{\bar{z} + z}{z}$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1}}{a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n + 1}} = \frac{n}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{4050}}{a_{2}} =$ （）

A、4050 B、2025 C、4048 D、2024

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，点 $A (4, 0)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，满足 $| M A |^{2} + | M O |^{2} = 10$ ，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \sqrt{5} + 1]$ B、 $[\sqrt{5} - 1, \sqrt{5} + 1]$ C、 $(0, \sqrt{5} - 1]$ D、 $[\sqrt{5} + 1, + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 sin 2 x, x \neq \frac{π}{3} + k π, k \in Z, \\ tan x, x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z, \end{matrix}$ 若方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $(0, m]$ 上恰有4个不同实根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4 π}{3}, \frac{13 π}{6})$ B、 $(\frac{4 π}{3}, \frac{13 π}{6}]$ C、 $[\frac{13 π}{6}, \frac{7 π}{3})$ D、 $(\frac{13 π}{6}, \frac{7 π}{3}]$

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8. 直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为 $r$ 的小球，全部放进棱长为 $8 + 4 \sqrt{6}$ 的正四面体盒子中，则 $r$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, A B = A D = 2 \sqrt{3}, E$ 是侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心， $F$ 是底面 $A B C D$ 的中心，点 $M$ 在线段 $A D$ 上运动，则下面选项正确的是（）

A、直线 $E F$ 与 $A_{1} B$ 平行 B、四面体 $M - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、点 $E$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、异面直线 $E F$ 与 $A_{1} C$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$

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10. 泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，其概率分布列为 $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值.当二项分布的 $n$ 很大 $(n \geq 2000)$ 而 $p$ 很小 $(p \leq 0.05)$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似，且 $λ$ 取二项分布的期望.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用 $0.05 J / m^{2}$ 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为 $Y, P (Y = k)$ 表示经该种紫外线照射后产生 $k$ 个嘧啶二体的概率.已知 $Y$ 近似服从泊松分布，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，则下列说法正确的有（）

A、 $λ = 5$ B、 $P (Y \geq 2) = 1 - 5 e^{- 5}$ C、大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为 $e^{- 5}$ D、经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大

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11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C, D$ 两点， $P$ 是 $E$ 上一个动点，则下列说法正确的有（）

A、 $|A B| < |C D|$ B、曲线 $E$ 恰好经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、 $△ P A B$ 面积的最大值为1 D、满足 $|P C| + |P D| = 2 \sqrt{3}$ 的点 $P$ 有且只有2个

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 $f (x) =$ .① $f (2 - x) = f (x)$ ；② $f (x)$ 至少有两个零点；③ $f (x)$ 有最小值.

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13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有种.

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14. 已知函数 $f (x) = a^{x} - {log}_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 与函数 $g (x) = ln ({log}_{a} x) - x ln a (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 有两个不同交点，则 $a$ 的取值范围是.（其中 $e$ 为自然对数的底数）

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P B = P D = 4, ∠ P D A = \frac{π}{3}, M$ 是 $C D$ 的中点， $A M = \sqrt{5}$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $N$ 是棱 $P B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，求直线 $C D$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值.

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 \sqrt{3} cos \frac{A}{2} cos \frac{B + C}{2} = 1 + 2 {cos}^{2} \frac{A}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $sin C (1 + cos B) = sin B (2 - cos C)$ ，求 $\frac{c}{b}$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x}, a \in R$ ，若 $f (x)$ 只有唯一的极值且为极小值3.

(1)、求 $a$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x - \frac{2}{x}, x \in (0, e)$ ，若不等式 $\frac{m}{x^{2} (1 - g (x))} - 2 e^{n - 1} \geq 0, m \neq 0, n > 0$ 恒成立，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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18. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，过点 $Q (1, 2)$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点 $B, C$ ，在线段 $B C$ 上取异于点 $B, C$ 的点 $H$ .
（i）当 $H$ 为 $B C$ 中点时， $△ A Q H$ 的面积为7，求直线 $l$ 的斜率；
（ii）直线 $A B, A H, A C$ 分别与 $y$ 轴交于点 $D, E, F$ ，若 $E$ 为 $D F$ 中点，证明：点 $H$ 恒在一条定直线上.

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19. 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 $A$ 和路线 $B$ .公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 $A$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；前一天选择路线 $B$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .已知居民第一天选择路线 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择路线 $B$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 $A$ 散步的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及期望；

(2)、若某居民每天都去公园散步，记第 $n$ 天选择路线 $A$ 的概率为 $P_{n}$ .
（i）请写出 $P_{n + 1}$ 与 $P_{n} (n \in N^{*})$ 的递推关系；
（ii）设 $M_{n} = \frac{16}{|15 P_{n} - 9|} - 4$ ，求证： $\frac{n}{4} - 1 < \frac{M_{1}}{M_{2}} + \frac{M_{2}}{M_{3}} + \dots + \frac{M_{n}}{M_{n + 1}} < \frac{n}{4} (n \in N^{*})$ .

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