广东省佛山市S6高质量发展联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 要得到 $y = \sqrt{5} s i n (x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \sqrt{5} s i n x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (3 m, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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3. $c o s 121 ° c o s 61 ° + s i n 121 ° s i n 61 ° =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知复数 $z = \frac{2 + i^{7}}{{(1 - i)}^{2}}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $⟨\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}⟩ = \frac{π}{3}$ ，过点 $P$ 作两坐标轴的平行线，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $a$ ， $b$ 分别作为点 $P$ 的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记 $P (a, b)$ ，则该坐标系中 $M (3, 3)$ 和 $N (2, 1)$ 两点间的距离为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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6. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a s i n 2 C + c s i n A = 0$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{5}$ D、 $\frac{π}{4}$

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7. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $2 s i n 3 α = 3 s i n α$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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8. 已知函数 $y = s i n (3 x + φ) (0 < φ < π)$ 在区间 $(- \frac{2 π}{9}, \frac{π}{12})$ 上单调，则 $φ$ 的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{2 π}{3}, \frac{5 π}{6}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若 ${{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}}$ 是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（）

A、 ${{\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{2} - {\vec{e}}_{1}}$ B、 ${3 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{1} - \frac{1}{2} {\vec{e}}_{2}}$ C、 ${2 {\vec{e}}_{2} - 3 {\vec{e}}_{1}, 6 {\vec{e}}_{1} - 4 {\vec{e}}_{2}}$ D、 ${{\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{1} + 3 {\vec{e}}_{2}}$

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10. 已知函数 $f (x) = a s i n x + c o s (x + \frac{π}{6}) (a > 0)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、 $\frac{π}{6}$ 为 $f (x)$ 的一个零点 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{3})$ 上单调递增 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的函数为奇函数 D、当 $x \in [- \frac{π}{3}, t]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}]$ ，则 $t$ 的取值范围为 $[\frac{π}{3}, π]$

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11. 如图，为测量海岛的高度 $A B$ 以及其最高处瞭望塔的塔高 $B C$ ，测量船沿航线 $D A$ 航行，且 $D A$ 与 $A C$ 在同一铅直平面内，测量船在 $D$ 处测得 $∠ B D A = α$ ， $∠ C D A = β$ ，然后沿航线 $D A$ 向海岛的方向航行 $m$ 千米到达 $E$ 处，测得 $∠ B E A = γ$ ， $∠ C E A = δ$ （ $δ > γ > β > α$ ，测量船的高度忽略不计），则（）

A、 $A B = \frac{m \sin γ \sin α}{\sin (δ - α)}$ B、 $B D = \frac{m \sin γ}{\sin (γ - α)}$ C、 $B C = \frac{m \sin α}{\cos δ \sin (γ - α)}$ D、 $C D = \frac{m \sin δ}{\sin (δ - β)}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设 $a \in R$ ，若复数 $(a - 2 i) (2 + i)$ 为纯虚数，则 $a =$ ．

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13. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 6)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为．

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14. “广佛之眼”摩天轮半径为 $50 m$ ，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心 $O$ 距地面的高度为 $60 m$ ，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 $15 min$ 转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱 $10 min$ 时他距离地面的高度为 $m$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知 $z_{1} = 5 + 10 i$ ， $z_{2} = 3 - 4 i$ ．

(1)、求 $z_{1} z_{2}$ 的值；

(2)、设 $\frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ ，求 $z$ 的值．

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16. 如图所示，在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 及 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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17. 已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ．

(1)、已知平面内点 $A (2, 4)$ ，点 $B (2 + \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ ，若把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 得到点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、已知 $\vec{A B} = (1, 1)$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ， $\vec{C D} = (2, 6)$ ，若 $\vec{A P} ⊥ \vec{C D}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s B + b s i n \frac{A}{2} = c$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的重心为 $O$ ，且 $3 A O = \sqrt{2} a$ ，求 $\frac{s i n B}{s i n C}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + φ) (0 < | φ | < \frac{π}{2})$ 过点 $(\frac{π}{12}, 0)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的对称轴方程、对称中心以及单调递减区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + 2 a f (x) + 2 a - 3 = 0$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上有解，求 $a$ 的取值范围．

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