广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-01 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）.

1. 设随机变量 $X$ 的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
$\frac{1}{3}$
m
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
则 $P (|X - 2| \leq 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{12}$

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2. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 $A_{1}$ ：红骰子的点数为 $2$ ， $A_{2}$ ：红骰子的点数为 $3$ ， $A_{3}$ ：两个骰子的点数之和为 $7$ ， $A_{4}$ ：两个骰子的点数之和为 $9$ ，则（）

A、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 对立 B、 $A_{3}$ 与 $A_{4}$ 不互斥 C、 $A_{1}$ 与 $A_{3}$ 相互独立 D、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 相互独立

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3. 若 $C_{24}^{m} = C_{24}^{m + 2}$ ，则 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{m}^{2}$ 的值为（）

A、83 B、119 C、164 D、219

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4. 已知 $\frac{C_{n - 1}^{5} + C_{n - 3}^{3}}{C_{n - 3}^{3}} = \frac{19}{5}$ ，则 $n$ 的值是（）

A、9 B、7 C、9或 $- 6$ D、8

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5. 若一组样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{n}$ 的期望和方差分别为 $2 ， 0.04$ ，则数据 $5 y_{1} + 1 ， 5 y_{2} + 1 ， 5 y_{3} + 1 ， \dots ， 5 y_{n} + 1$ 的期望和方差分别为（）

A、3，1 B、11，1 C、3，0.2 D、11，0.2

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6. 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕。某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）

A、18 B、36 C、54 D、72

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7. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D = 2 \sqrt{2}, A D = 1$ .若 $A, B$ 是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的两个公共焦点， $C, D$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两个交点，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.若 $f (1) = e$ ，且 $f^{'} (x) + e^{x} < f (x)$ 在 $R$ 上恒成立，则不等式 $f (x) < (2 - x) e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，以 $A$ 为顶点的三条棱长都是 $2, ∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E F$ $//$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、 $A C_{1} = 3 \sqrt{2}$ D、 $A C_{1}$ 与 $A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10. 若 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 3^{10}$ C、 $a_{2} = 180$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 10 \times 3^{9}$

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11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，其短轴上的一个端点到 $F_{2}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，点 $A$ 在椭圆上，直线 $l : b x + a y - a^{2} - b^{2} = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 与蒙日圆相切 B、椭圆 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ C、若点 $P$ 是椭圆 $C$ 的蒙日圆上的动点，过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，分别交蒙日圆于 $M ， N$ 两点，则 $M N$ 的长恒为4 D、记点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - |A F_{2}|$ 的最小值为 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + y)}^{5}$ 的展开式中 $y$ 的系数为．

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13. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是．

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14. 如图，在梯形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A B = B C = 2 C D = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，将 $△ A C D$ 沿AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角 $P - A C - B$ 为 $120^{\circ}$ ，连接PB，得到三棱锥 $P - A B C$ ，则该三棱锥外接球的表面积为．

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四、解答题

15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 2 a_{n} + n^{2} - 1$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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16. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，现将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $D - A B C E$ ，点 $P$ 为棱 $D B$ 上一点.

(1)、证明： $A D ⊥ B E$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得直线 $E P$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ？若存在，求 $D P : D B$ 的值；若不存在，请说明理由.

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点 $P (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P$ 且平行于 $A M$ 的直线交直线 $x = \frac{5}{2}$ 于点 $Q$ ，求证：直线 $N Q$ 恒过定点.

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18. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为 $2 : 1$ ，其中获奖人数中，女生占 $\frac{1}{4}$ ，不获奖人数中，女生占 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；

(2)、对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人．
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；
②记 $X$ 为入选的2人中的女生人数，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x, x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
（i）求m的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	m	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$