广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题

试卷更新日期：2025-03-11 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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2. 已知一组数据 $12, 17, 15, x, 20$ 的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（）

A、17 B、16.5 C、16 D、15.5

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3. 现有编号为 $1, 2, 3, 4$ 的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{128}$ D、 $\frac{3}{64}$

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4. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{4}^{2} = a_{6}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、 $\frac{40}{3}$ B、 $\frac{91}{3}$ C、 $\frac{121}{3}$ D、 $\frac{364}{3}$

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5. 已知 $sin (α - \frac{π}{6}) + cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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6. 在矩形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B}|, |\vec{B C}|, |\vec{A C}|$ 成等差数列， $|\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{A C}| = 10$ ，则矩形 $A B C D$ 的周长为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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7. 已知边长为1的正方形 $A B C D$ 绕边 $C D$ 所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点 $M$ 和 $N$ 分别是圆柱上底面和下底面的动点，点 $P$ 是线段 $M N$ 的中点，则三棱锥 $A - P B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $S_{△ A B D} = 2 S_{△ A C D}$ ，则 $tan B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{15}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 ${(m x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ （常数 $m > 0$ ）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（）

A、 $n = 10$ B、展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C、展开式中 $x^{15}$ 的系数为 $45 m^{8}$ D、若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大

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10. 已知曲线 $Γ : x^{2} + y^{2} - 5 = |2 y - 2|$ ，则（）

A、曲线 $Γ$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $Γ$ 围成图形的面积为 $\frac{11 π}{6}$ C、曲线 $Γ$ 上的点到点 $(3, 0)$ 的距离最大值为 $2 + \sqrt{10}$ D、若点 $(x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $Γ$ 上的点，则 $\frac{y_{0}}{7 x_{0} - 21}$ 的最大值为1

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11. 已知函数 $f (x) = sin x + sin 2 x, g (x) = cos x + cos 2 x, h (x) = λ f (x) + μ g (x)$ ，其中 $λ^{2} + μ^{2} \neq 0$ ，则（）

A、函数 $h (x)$ 是周期函数 B、当 $λ = 0, μ = 1$ 时，函数 $h (x)$ 的值域为 $[- \frac{9}{8}, 2]$ C、当 $λ = 1, μ = 0$ 时， $x = k π (k \in Z)$ 是函数 $h (x)$ 图象的对称轴 D、当 $λ μ > 0$ 时，函数 $h^{'} (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上有零点

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 曲线C： $y = x e^{x}$ 在点M（1，e）处的切线方程为．

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13. 已知 $θ$ 是第三象限角，则曲线 $C : 4 x^{2} + y^{2} cos θ = 4 cos θ$ 的离心率的取值范围为．（用区间表示）

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14. 在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为 $\frac{2}{5}$ ．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为 $\frac{2}{3}$ ；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为 $\frac{1}{3}$ ．记用户第 $n$ 关抽到奖品的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{n}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 东湖公园统计连续 $5$ 天入园参观的人数（单位：千人）如下：
日期
$1$ 月 $13$ 日
$1$ 月 $14$ 日
$1$ 月 $15$ 日
$1$ 月 $16$ 日
$1$ 月 $17$ 日
第 $x$ 天
$1$
$2$
$3$
4
$5$
参观人数 $y$
$2.4$
$2.7$
$4.1$
$6.4$
$7.9$

(1)、建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，预测第 $13$ 天入园参观人数；

(2)、东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为 $\frac{1}{3}$ ，从不同一个门出园的概率为 $\frac{2}{3}$ ．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率．
附：参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 85.2$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 4.7$ ．
参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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16. 如图，在斜棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A_{1} A = A B$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ A_{1} A$ ；

(2)、若 $A_{1} A = A_{1} C = 2$ ，求 $B D$ 的长度．

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17. 已知函数 $f (x) = ln (|x| + a) + b |x|$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值．

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18. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，以椭圆 $E$ 短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点 $P (0, 2)$ 的直线 $A B, C D$ 分别交椭圆 $E$ 于点 $A, B, C, D$ ，点 $A$ 始终在第一象限且与点 $D$ 关于 $y$ 轴对称，直线 $A C, B C$ 分别交 $y$ 轴于点 $G, M$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、求点 $G$ 的坐标；

(3)、证明： $|A B| = 2 |A P| \cdot |M G|$ ．

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19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中c为参数．当 $c = 1$ 时，该方程就是双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ．相应地就有双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．已知三角函数的三个关系式：①平方关系： ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ；②二倍角关系： $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ；③导数关系： $\{\begin{array}{l} (sin x)^{'} = cos x, \\ (cos x)^{'} = - sin x . \end{array}$

(1)、类比关系式①②③，写出 $ch (x)$ 和 $sh (x)$ 之间的三种关系式（不需要证明）；

(2)、当 $x > 0$ 时，不等式 $sh (x) \geq k x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a, a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} - 1$ ，是否存在实数 $a$ ，使得 $a_{2025} = \frac{5}{3}$ ？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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日期	$1$ 月 $13$ 日	$1$ 月 $14$ 日	$1$ 月 $15$ 日	$1$ 月 $16$ 日	$1$ 月 $17$ 日
第 $x$ 天	$1$	$2$	$3$	4	$5$
参观人数 $y$	$2.4$	$2.7$	$4.1$	$6.4$	$7.9$