云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题

试卷更新日期：2025-01-28 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量 $\vec{a} = (0, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
2. 复数 $\frac{- 1 + i}{i}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {y |y = 3 x + 1, x > 0}$ ，则（）

A、 $- 1 \in A \cap B$ B、 $0 \in A \cap B$ C、 $1 \in A \cap B$ D、 $2 \in A \cap B$

查看试题解析
4. 某次测试成绩 $X ~ N (105, 225)$ ，记成绩 $120$ 分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

A、 $31.73 %$ B、 $15.87 %$ C、 $4.55 %$ D、 $2.28 %$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = x^{α} - 1$ （ $α > 0$ ），实数 $m$ ， $n$ 满足 $f (m) + f (n) = 4$ ， $f (m) f (n) = 3$ ，则 $f (m n) =$ （）

A、 $1$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $12$

查看试题解析
6. 已知点 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ ，当点 $P$ 的纵坐标是 $\frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 到坐标原点的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $1$

查看试题解析
7. 已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球 $O$ 的球面上，若圆锥的母线与球 $O$ 的半径之比为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥与球 $O$ 的体积之比等于（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{32}$ C、 $\frac{9}{32}$ D、 $\frac{3}{8}$

查看试题解析
8. 从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ B、 $P (B | A) = \frac{1}{2}$ C、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{12}$ D、 $P (A + B) = \frac{5}{6}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = \cos (\sin x) - \sin (\cos x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 图象关于 $y$ 轴对称 B、 $2 π$ 是 $y = f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 单调递减 D、 $f (x)$ 图象恒在 $x$ 轴的上方

查看试题解析
11. “四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线 $C :$ ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = {(4 x y)}^{2}$ ，其形态极像“四叶草”，设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $C$ 上异于原点的一点，过点 $P$ 作直线 $O P$ 的垂线交坐标轴于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $C$ 有4条对称轴 B、 $C$ 围成的面积大于 $4 π$ C、 $|A B| = 4$ D、 $△ O A B$ 的面积最大值为4

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a} (x \neq 0)$ 满足 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ ，则实数 $a =$ ．

查看试题解析
13. 围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有 $6$ 枚黑色棋子和 $2$ 枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为．

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = |\ln x|$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $A$ ， $B$ 两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为 $H$ ，两切线分别交 $y$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点，设△ $C D H$ 面积为 $S$ ，若 $S < λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \sin B = b \sin 2 A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 6$ ， $2 \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 15$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看试题解析
16. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过 $F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O A$ 交 $C$ 的准线于点 $D$ ．

(1)、当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时，求 $|A B|$ ；

(2)、求直线 $B D$ 的斜率；

(3)、若 $O$ ， $F$ ， $B$ ， $D$ 四点共圆，求该圆的半径．

查看试题解析
17. 如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为正方形， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $E D_{1} / /$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、若侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 为等腰梯形， $E D_{1} : D_{1} D : D E = \sqrt{13} : 3 : 2$ .
（i）证明：平面 $D C C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（ii）求平面 $B D C_{1}$ 和平面 $A D D_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = (a + 2) e^{x} + a e^{- x} - 2 x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 6 \cdot 3^{n}$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 为等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{2 n}{S_{n} - n}, n 为奇数, \\ {(- 1)}^{\frac{n}{2} + 1} \cdot \frac{2 \cdot 3^{n + 1}}{S_{n}}, n 为偶数 \end{array}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{4 n} < 1$ ．
参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ .

查看试题解析