四川省成都金苹果锦城第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-25 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} \cdot (1 - i) = 2$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, m)$ ， $\vec{c} = (4, n)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- \frac{19}{2}$ B、8 C、 $- 4$ D、6

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3. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（）

A、 $\frac{2}{3} R$ B、 $\frac{7}{12} R$ C、 $\frac{1}{2} R$ D、 $\frac{5}{12} R$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $a c o s B + b c o s (B + C) = c$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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5. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、3 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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6. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离 $B$ 约为 $40 m$ 的点 $M$ （B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $45 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（）

A、 $52 m$ B、 $54 m$ C、 $60 m$ D、 $80 m$

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7. 英国数学家泰勒给出如下公式： $s i n x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ⋯$ ； $c o s x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + ⋯$ ； $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + ⋯$ ，其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ .这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算.若 $a = s i n 0.8$ ， $b = c o s 0.6$ ， $c = e^{- 0.2}$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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8. 已知函数 $f (x) = a s i n 2 x + b c o s 2 x (a > 0, b \in R)$ .若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{12})$ 则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{4}) > f (\frac{π}{8})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、若关于实数 $x$ 不等式 $f (x) \geq a^{2} - 3$ 有解，则 $a \in (0, 1]$ D、若函数 $y = f (ω x)$ 在 $(0, π)$ 上有且仅有4个零点，则 $ω \in (\frac{11}{6}, \frac{7}{3}]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分．

9. 已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ， $c o s α c o s β = \frac{2}{5}$ ， $t a n α t a n β = \frac{1}{2}$ 则（）

A、 $c o s (α + β) = \frac{1}{5}$ B、 $c o s (α - β) = \frac{3}{5}$ C、 $s i n (α - β) = \frac{4}{5}$ D、 $s i n 2 α = \frac{6 \sqrt{6} - 4}{25}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（）

A、等式 $c = a \cos B + b \cos A$ 恒成立 B、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{6}$ ，则满足条件的三角形有两个

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11. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{i} + y \vec{j}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系Oxy中的坐标，即 $\vec{O P} = (x, y)$ ．在坐标系Oxy中，设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．若A，C，D三点共线，则实数 $λ =$ ．

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13. $s i n^{2} 19 ° + c o s^{2} 49 ° + s i n 19 ° c o s 49 ° =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $∠ A = 45 °$ ， AC边的中线 $B D = \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的最大值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．

15. 已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ， $0 \leq α \leq π$ .

(1)、求 $c o s (α + \frac{5 π}{6})$ 的值；

(2)、求 $c o s 2 α$ 的值.

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16. 直角梯形ABCD中， $B C = 2 A B = 2 A D = 4$ ， $A B ⊥ B C$ ， $E$ 为CD的中点，BE与AC交于点 $F$ .

(1)、用 $\vec{B C}, \vec{B A}$ 表示 $\vec{B E}$ ；

(2)、设 $\vec{B F} = λ \vec{B E}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $∠ E F C$ .

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c.已向量 $\vec{m} = (s i n A + s i n B + s i n C, s i n C)$ ， $\vec{n} = (b + c - a, - b)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = 4$ ，角 $A$ 的平分线交BC于 $D$ ，求AD的长.

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18. 已知函数 $f (x) = 4 c o s x s i n (x + \frac{π}{6}) + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 的最小值为4.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、把函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像， $g (x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称.当 $φ$ 取得最小值时，求 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3}, \frac{7 π}{6}]$ 上的单增区间；

(3)、在锐角三角形ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $f (A) = m + 2$ ，求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围.

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19. 我们知道，复数可以用 $a + b i (a, b \in R)$ 的形式来表示，与复平面内的点 $Z (a, b)$ 是一一对应的，复数的模 $| z | = | a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，即是复平面内的点 $Z (a, b)$ 到坐标原点 $O$ 的距离 $|O Z|$ ．又复数与平面向量 $\vec{O Z} = (a, b)$ 也是一一对应的，所以也可以借助与 $x$ 非负半轴为始边，以向量 $\vec{O Z}$ 所在射线（射线OZ）为终边的角 $θ$ 来刻画 $\vec{O Z}$ 的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．
如： $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i$ ， $|z_{1}| = 2$ ，角 $θ_{1} = \frac{π}{6}$ ； $z_{2} = \sqrt{3} + i$ ， $|z_{2}| = 2$ ，角 $θ_{2} = \frac{π}{3}$ ，由 $z_{1} \cdot z_{2} = (1 + \sqrt{3} i) \times (\sqrt{3} + i) = 4 i$ ．即：复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ ，相当于将复数 $z_{1}$ 伸长了 $|z_{2}|$ 倍，同时逆时针旋转角 $θ_{2}$ 后得到．

(1)、计算 $\frac{a + b i}{i} (a, b \in R)$ ，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；

(2)、现将直角坐标平面内任意一点 $P (x, y)$ ，绕坐标原点逆时针旋转 $θ$ 角，并将 $|O P|$ 的长度伸长 $m$ 倍后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ ．请借助以上复数运算的知识，推导点 $P$ 与点 $Q$ 伸缩旋转变换的坐标关系；

(3)、已知反比例函数 $C : y = \frac{1}{x}$ ，现将函数 $C$ 上的点 $P (x, y)$ 都逆时针旋转 $45 °$ 后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 的曲线 $C^{'}$ ，求曲线 $C^{'}$ 上的点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 坐标关系式．

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