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相关试卷

1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $A D = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $P D ⊥ C D$ ， E为AB的中点，M为CE的中点.

(1)、证明： $P M ⊥ A B$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{15}$ ， N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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2、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F，抛物线C上点 $M (2, y_{0})$ 满足 $|M F| = 3$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设点 $D (- 1, 0)$ ，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明： $x = 1$ 是 $∠ A F B$ 的角平分线.

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3、在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a (\cos C + \sqrt{3} \sin C) = b + c$ ，

(1)、求A.

(2)、若 $b = 5$ ， $c = 2$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
（Ⅰ）求AM；
（Ⅱ）求 $\cos ∠ M P N$ .

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4、对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为.

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5、在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线 $y = x^{2} + a$ 与 $y^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} x$ 相切，则 $a =$ .

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6、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线上一点，且满足 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $∠ P F_{2} F_{1} = \frac{π}{6}$ ，则双曲线的离心率为.

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7、已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线l： $2 x + 3 y + 12 = 0$ . $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是椭圆的左、右顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆 $Γ$ 的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ）处的切线分别交 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 处的切线于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，则（）

A、直线MN过定点 B、 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 四点共圆 C、当 $M N ∥ l$ 时， $(- \frac{3}{2}, - 1)$ 是线段MN的三等分点 D、 $|Q B_{1}| \cdot |Q B_{2}|$ 的最大值为9

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8、设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - \cos (π x)}}{x^{2} - 2 x + 3}$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 存在对称轴 B、曲线 $y = f (x)$ 存在对称中心 C、 $f (x) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 |f (x)| \leq 3 |x|$

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9、下列说法正确的是（）

A、数据 $8, 6, 4, 11, 3, 7, 9, 10$ 的上四分位数为9 B、若 $0 < P (C) < 1$ ， $0 < P (D) < 1$ ，且 $P (\bar{D}) = 1 - P (D |C)$ ，则 $C, D$ 相互独立 C、根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.4 x + a$ ，若其中一个散点坐标为 $(- a, 5.4)$ ，则 $a = 9$ D、将两个具有相关关系的变量 $x, y$ 的一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ 调整为 $(x_{1}, y_{1} + 3)$ ， $(x_{2}, y_{2} + 3)$ ， …， $(x_{n}, y_{n} + 3)$ ，决定系数 $R^{2}$ 不变
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ）

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10、现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为 $(3, 2)$ 的方块：可以通过一次操作变成以下状态

中的任何一种： $(3, 1)$ ， $(3)$ ， $(2, 2)$ ， $(1, 2)$ 或 $(1, 1, 2)$ .游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（）

A、 $(3, 2, 1)$ B、 $(4, 2)$ C、 $(2, 1, 1)$ D、 $(5, 3)$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 a x - \ln x, x > 0 \\ 2 x^{2} + (2 a + 3) x + 2, x \leq 0 \end{array}$ ， $\forall x \in (\frac{1}{2}, + \infty)$ ，有 $f (x) \cdot f (- x) \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{2}{3}]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, 1]$

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12、已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 上一点 $P (1, 1)$ 关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若 $M P, M Q$ 分别交x轴于点 $R, S$ ，则 $|O R| \cdot |O S| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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13、已知 $\sin (α + β) = \frac{17}{25}$ ， $\sin α \cos β = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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14、将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）

A、 $8 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $16 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3} π$

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15、已知向量 $\vec{a} = (4, 0)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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16、若 $\frac{z - 2}{z} = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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17、已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 2}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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18、设n次多项式 $P_{n} (t) = a_{n} t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $P_{n} (\cos x) = \cos n x$ ，则称这些多项式 $P_{n} (t)$ 为切比雪夫多项式．例如：由 $\cos θ = \cos θ$ 可得切比雪夫多项式 $P_{1} (x) = x$ ，由 $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $P_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ ．

(1)、若切比雪夫多项式 $P_{3} (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，求实数a，b，c，d的值；

(2)、已知函数 $f (x) = 8 x^{3} - 6 x - 1$ 在 $(- 1, 1)$ 上有3个不同的零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ ．

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19、将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点 $O$ 距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点 $P$ 距离地面的高度为 $h$ （单位：米），若 $P$ 从摩天轮的最低点处开始转动，则 $h$ 与转动时间 $t$ （单位：分钟）之间的关系为 $h = A \sin (ω t + φ) + k (A > 0, ω > 0, φ \in [- π, π])$ ．

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ ， $k$ 的值；

(2)、摩天轮转动8分钟后，求点 $P$ 距离地面的高度；

(3)、在摩天轮转动一圈内，求点 $P$ 距离地面的高度超过65米的时长．

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20、已知角 $α$ 是第二象限角， $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\cos α$ 和 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $\tan 2 α$ 的值.

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