相关试卷

1、先化简，再求值： $(\frac{x^{2} + 4}{x} + 4) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$ ，其中 $x = 3$

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2、计算： $2025^{0} - | 2 - \sqrt{3} | - 2 \sin 60 ° + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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3、已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 $s_{甲}^{2}$ $s_{乙}^{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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4、如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．

(1)、求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)、求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

(4)、是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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5、如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动，问：

(1)、P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？

(2)、是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．

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6、平面直角坐标系内如图放矩形 $O A B C$ 已知点 $B (8, 6)$ ， $D (0, 4)$ ．将矩形 $O A B C$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $A$ 与点 $D$ 重合．折痕交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $O A$ 于点 $F$ ．

(1)、求点 $F$ 的坐标；

(2)、若动点 $P$ ， $Q$ 同时从点 $A$ 出发，点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向点 $O$ 运动，点 $Q$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿射线 $A B$ 方向运动，当点 $P$ 运动到点 $O$ 时停止运动，点 $Q$ 也同时停止运动．设 $△ P Q F$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ ， $Q$ 的运动时间为 $t$ 秒，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；

(3)、在（2）的条件下， $R$ 是射线 $C B$ 上的一点，点 $M$ 为平面内一点，是否存在点 $M$ ，使以 $P$ ， $Q$ ， $R$ ， $M$ 为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (3, 0)$ ， D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点 $C (1 ， 0)$ ，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当 $B E + D E$ 最小时，求此时点E的坐标；

(3)、若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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8、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ $(a < 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ 两点．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若点 $D$ 是第二象限抛物线上的动点， $D E ∥ x$ 轴，交直线 $B C$ 于点 $E$ ，点 $G$ 在 $x$ 轴上，点 $F$ 在坐标平面内，是否存在点 $D$ ，使以 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是正方形？若存在，求点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B$ 两点，顶点坐标为 $(1 ， - 4)$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、直线 $B C$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ，当 $D$ 为抛物线上第四象限内一点且 $\frac{D E}{E O} = \frac{2}{3}$ 时，求点D的坐标；

(3)、 $G$ 为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点 $M$ ，使以 $B$ ， $C$ ， $M$ ， $G$ 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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10、综合与探究
如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1, - 1)$ 和点 $B (3, 3)$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 上一动点（不与 $A, B$ 重合），直线 $l$ 是抛物线的对称轴，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式及直线 $A B$ 的函数表达式．

(2)、当点 $P$ 在直线 $l$ 右侧的线段部分上运动时，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $Q$ ，分别过点 $P ， Q$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $C ， D$ ，求四边形 $P C D Q$ 周长的最大值．

(3)、若点 $E$ 是抛物线上一点，平面内是否存在点 $F$ ，使得以点 $A ， E ， F ， P$ 为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点 $F$ 的坐标．若不存在，请说明理由．

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11、如图，已知直线 $A B$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段 $O A$ 的长是方程 $x^{2} - 7 x - 18 = 0$ 的一个根， $O B = \frac{1}{2} O A$ ．请解答下列问题：

(1)、求点A，B的坐标；

(2)、直线 $E F$ 交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线 $A B$ 于点C．若C是 $E F$ 的中点， $O E = 6$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象的一支经过点C，求k的值；

(3)、在（2）的条件下，过点C作 $C D ⊥ O E$ ，垂足为D，点M在直线 $A B$ 上，点N在直线 $C D$ 上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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12、如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．

(3)、若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

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13、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 3, 0), B (4, 0)$ 两点，交y轴于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图，直线 $y = \frac{3}{4} x + \frac{9}{4}$ 与抛物线交于A，D两点，与直线 $B C$ 于点E．若 $M (m, 0)$ 是线段 $A B$ 上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线 $A D$ 于点G，交直线 $B C$ 于点H．

①当点F在直线 $A D$ 上方的抛物线上，且 $S_{△ E F G} = \frac{5}{9} S_{△ O E G}$ 时，求m的值；
②在平面内是否在点P，使四边形 $E F H P$ 为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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14、已知抛物线 $Q_{1} : y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3, 0), B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0, 3)$ ．

(1)、请求出抛物线 $Q_{1}$ 的表达式．

(2)、如图1，在 $y$ 轴上有一点 $D (0, - 1)$ ，点 $E$ 在抛物线 $Q_{1}$ 上，点 $F$ 为坐标平面内一点，是否存在点 $E, F$ 使得四边形 $D A E F$ 为正方形？若存在，请求出点 $E, F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，将抛物线 $Q_{1}$ 向右平移2个单位，得到抛物线 $Q_{2}$ ，抛物线 $Q_{2}$ 的顶点为 $K$ ，与 $x$ 轴正半轴交于点 $H$ ，抛物线 $Q_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ C P K = ∠ C H K$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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15、已知二次函数 $y = a x^{2} + x + c$ 的图象经过点 $A (- 1, - \frac{1}{2})$ 和点 $B (2, 1)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、若点 $C (m + 1, y_{1})$ ， $D (m + 2, y_{2})$ 都在该二次函数的图象上，试比较 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小，并说明理由；

(3)、点 $P ， Q$ 在直线 $A B$ 上，点 $M$ 在该二次函数图象上．问：在 $y$ 轴上是否存在点 $N$ ，使得以 $P$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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16、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 2, 0)$ ，与y轴交于点 $B (0, 4)$ ，直线 $x = 3$ 与x轴交于点C．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、正比例函数 $y = k x$ 的图象分别与线段 $A B$ ，直线 $x = 3$ 交于点D，E，当 $△ B D O$ 与 $△ O C E$ 相似时，求线段 $O D$ 的长度；

(3)、如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段 $O C$ 和直线 $x = 3$ 上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以 $B F$ 为一边的矩形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．

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17、已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A, B (2, 0)$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}, P$ 是第一象限内抛物线上一个动点，过点 $P$ 作 $P H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，与线段 $B C$ 交于点 $M$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、当 $△ P M C$ 是以 $M C$ 为底边的等腰三角形时．
（i）求线段 $P M$ 的长；
（ii）已知 $Q$ 是直线 $P C$ 上一点，直线 $P M$ 上是否存在一点 $K$ ，使得以 $Q, M, C, K$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点 $K$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图①，矩形 $A B C D$ 与 $R t △ E F G$ 叠放在一起（点 $D$ ， $C$ 分别与点 $G$ ， $F$ 重合，点 $E$ 落在对角线 $B D$ 上），已知 $A B = 15 c m$ ， $A D = 20 c m$ ， $∠ G E F = 90 °$ ．如图②， $△ E F G$ 从图①的位置出发，沿 $D B$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ；动点 $P$ 同时从点 $A$ 出发，沿 $A D$ 方向匀速运动，速度为 $2 c m / s$ ；设它们的运动时间为 $t$ （ $s$ ）（ $0 < t < 10$ ），连接 $P E$ ．解答下列问题：

(1)、求 $E G$ 的长；

(2)、当 $t$ 为何值时，点 $D$ 在线段 $P E$ 的垂直平分线上？

(3)、是否存在某一时刻 $t$ ，使得 $△ D P E$ 的面积是矩形 $A B C D$ 面积的 $\frac{7}{50}$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

(4)、如图③，点 $F_{1}$ 是点 $F$ 关于 $B D$ 的对称点，连接 $F_{1} P$ ， $G P$ ，当 $t$ 为何值时， $F_{1} P + P G$ 的值最小？

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19、综合与实践：
【实践操作】
如图 $Ⅰ$ ，将矩形 $A B C D$ 对折，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，展开后再一次折叠，使点 $B$ 落在 $E F$ 上的点 $B^{'}$ 处，并使得折痕经过点 $A$ ，得到折痕 $A M$ ．

(1)、【问题提出】
在（ $1$ ）的条件下，已知 $A B = 4$ ， $A D = 8$ ，求 $C M$ 的长．

(2)、【问题探究】
如图 $Ⅱ$ ，在（ $2$ ）的条件下，若点 $P$ 是射线 $B^{^{'}} E$ 上的一个动点，将 $△ A B^{'} P$ 沿 $A P$ 翻折，得 $△ A B^{″} P$ ，连接 $B^{''} D$ ．设 $t a n ∠ A D B^{″} = m$ ，在点 $P$ 从点 $B^{'}$ 出发沿射线 $B^{^{'}} E$ 方向运动的过程中，当 $m$ 取得最大值时，解决下列问题：
$①$ 求 $B^{″} D$ 的长；
$②$ 直接写出 $B^{'} P$ 的长．

(3)、【问题拓展】
如图 $Ⅲ$ ，在（ $3$ ）的条件下，延长 $D A$ 至点 $N$ ，使 $A N = B^{'} P$ ，连接 $B^{″} N$ ．问在点 $P$ 从点 $B^{'}$ 出发沿射线 $B^{^{'}} E$ 方向运动的过程中，是否存在以 $A$ ， $P$ ， $B^{″}$ ， $N$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出 $B^{'} P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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20、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (2, 0)$ ．与y轴交于点C， $∠ C A O = 45 °$ ，直线 $y = k x$ 交抛物线于点E，且 $A E = E C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点M为直线 $y = 1$ 上一点，点N为直线EC上一点，求 $C M + M N$ 的最小值；

(3)、点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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