相关试卷

1、 $2025$ 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出 $A 、 B$ 两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进 $A$ 款 $200$ 个， $B$ 款 $300$ 个，需花费 $14000$ 元；购进 $A$ 款 $100$ 个， $B$ 款 $200$ 个，需花费 $8000$ 元．

(1)、求 $A 、 B$ 两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？

(2)、根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 $12000$ 元的资金购进 $A 、 B$ 两款“哪吒”纪念品共 $400$ 个，那么至少需要购进 $B$ 款纪念品多少个？

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2、完成下列各题：

(1)、如图1，已知直线 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点C，且 $A C = B C$ ，求证： $O A = O B$ ．

(2)、如图2，矩形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点O， $∠ A O D = 120 °$ ， $A B = 3$ ，求 $A C$ 的长．

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3、化简求值：先化简 $(\frac{4}{x - 2} + 2) \div \frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值．

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4、如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，点A在 $C D$ 的延长线上， $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线，B为切点，连接 $B C$ ，若 $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为．

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1, 4)$ 和点 $B (- 2, m)$ ，则 $m$ 的值为．

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6、在平面直角坐标系中，点 $M (a, b)$ 与点 $N (3, - 1)$ 关于y轴对称，则 $a - b$ 的值是．

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7、若式子 $\frac{2}{\sqrt{x + 5}}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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8、某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为 $x$ 件，则可列方程（）

A、 $\frac{600}{x - 30} = \frac{500}{x}$ B、 $\frac{600}{x + 30} = \frac{500}{x}$ C、 $\frac{600}{x} = \frac{500}{x + 30}$ D、 $\frac{600}{x} = \frac{500}{x - 30}$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $D 、 E$ 分别是边 $A B 、 A C$ 上的点，且 $D E ∥ B C, \frac{A D}{D B} = \frac{3}{2}$ ，若 $A E = 4$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、6 B、 $\frac{8}{3}$ C、10 D、 $\frac{20}{3}$

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10、在下列给出的条件中，能判定四边形 $A B C D$ 为平行四边形的是（）

A、 $A B ∥ C D$ ， $A D = B C$ B、 $∠ A = ∠ B$ ， $∠ C = ∠ D$ C、 $A B = C D$ ， $A D = B C$ D、 $A B = A D$ ， $C B = C D$

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，连接 $C D$ ，若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则线段 $C D$ 的长度为（）

A、 $6$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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12、如图所示的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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13、写有实数0，1， $\sqrt{2}$ ， $- π$ ， $0.1235$ ， $\frac{22}{7}$ 的六张卡片中，随机抽取一张，是无理数的概率为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、

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14、下列运算正确的是（）

A、 $5 x^{2} + 2 x^{2} = 7 x^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a b^{3})}^{2} = a^{3} b^{5}$ D、 $4 a^{2} b \div 2 a^{2} = 2 b$

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15、 $2025$ 年“湘超”联赛吸引超 $230$ 万人到现场观赛，将 $230$ 万用科学记数法表示正确的是（）

A、 $2.3 \times 10^{5}$ B、 $2.3 \times 10^{6}$ C、 $23 \times 10^{5}$ D、 $0.23 \times 10^{7}$

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16、
【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点E， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ A C D = ∠ A C B = 45 °$ ．试探究：
①若 $∠ A B C = α$ ，用含有α的式子表示 $∠ A D C$ ；
②若 $B C$ ， $C D$ 与 $A C$ 满足关系式 $B C + C D = k \cdot A C$ ，求k的值．
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图：
方法1：延长 $C D$ 到点F，使 $D F = B C$ ，连接 $A F$ ，根据“边角边”容易证得 $△ A D F ≌ △ A B C$ ；
方法2：将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，使 $A B$ 与 $A D$ 重合，点C的对应点为F，则 $△ A D F ≌ △ A B C$ ．
【问题解决】
（1）用含有α的式子表示 $∠ A D C =$ ， $k =$ ；
【应用提升】
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $∠ B A D = 2 ∠ B C D = 120 °$ ， $B C = \frac{2}{3} C D = 2 \sqrt{3}$ ，求线段 $C E$ 的长．
【拓展应用】
（3）如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2 B C$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，分别连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．若 $P A = 6$ ， $P B = 4 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A P C + ∠ B A C = 180 °$ ．直接写出 $△ B C P$ 的面积．

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17、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L： $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 交于点 $T (5, t)$ 和点 $Q (6, 1)$ ．

(1)、求证：点Q为抛物线L的顶点；

(2)、将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（ $r > 0$ ）个单位，得到抛物线 $L_{1}$ ，若抛物线 $L_{1}$ 经过点 $D (1, \frac{3}{2})$ ，且点D在抛物线 $L_{1}$ 的对称轴左侧，求抛物线 $L_{1}$ 的函数表达式；

(3)、在（2）的条件下，记抛物线 $L_{1}$ 的对称轴为直线l，作点 $C (0, - 2)$ 关于直线l的对称点B，连接 $A B$ ，在直线 $A B$ 上是否存在点P，满足 $∠ A D P = ∠ C A O$ ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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18、为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面 $M N$ 上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线 $A B$ 与 $C D$ 相交于白蚁窝P．已知 $B D = 12.69 m$ ，检测线 $A B$ ， $C D$ 与水平地面 $M N$ 的夹角分别为 $∠ A B M = 30 °$ ， $∠ C D N = 21 ° 4 8^{'}$ ．

(1)、两次检测定位时，两条检测线形成的夹角 $∠ A P C$ 的度数是多少？

(2)、为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面 $M N$ 的深度．（结果保留整数，参考数据： $\sin 21 ° 4 8^{'} \approx 0.37$ ， $\cos 21 ° 4 8^{'} \approx 0.93$ ， $\tan 21 ° 4 8^{'} \approx 0.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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19、为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同．

(1)、设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为架（用含x的式子表示）；

(2)、求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？

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20、如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是弦，点D为半径 $O C$ 的延长线上一点，连接 $A D$ ， $∠ B = ∠ D = 30 °$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度（结果保留 $π$ ）．

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