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1、计算 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}$ 的结果是．

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2、如图，点C在 $B D$ 上，作线段 $B D$ 的同侧作等边 $△ A B C$ 和等边 $△ C D E ， A D 、 B E$ 相交于点 $F ， B E$ 与 $A C$ 交于点 $M ， C E$ 与 $A D$ 交于点N，连接 $M N$ ，下列结论： $① B E = A D ； ② C M = C N ； ③ ∠ A F B = 60 ° ； ④ M N ∥ B C$ ，其中正确的是（）

A、①② B、①②③④ C、①②④ D、①③④

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3、下列化简结果正确的是（）

A、 $(a^{2} - a b) \div \frac{b - a}{a b} = a^{2} b$ B、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y} = x - y$ C、 $\frac{- m^{2} + 2 m - 1}{m - 1} = - m + 1$ D、 $\frac{a + m}{b + m} = \frac{a}{b}$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, B C = 4, △ A B C$ 的面积为18， $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C ， A B$ 边于E，F点．若点D为 $B C$ 边的中点，点M为线段 $E F$ 上一动点，则 $B M + D M$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5、若 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y}$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 等于（　　）

A、﹣1 B、1 C、2 D、3

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6、若分式 $\frac{x^{2} - 9}{{(x - 3)}^{2}}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、3或 $- 3$ C、 $- 3$ D、无法确定

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7、根据下列已知条件，不能唯一画出 $△ A B C$ 的是（）

A、 $A B = 5 ， B C = 3 ， ∠ A = 30 °$ B、 $A B = 5 ， B C = 3 ， A C = 6$ C、 $A B = 10 ， B C = 20 ， ∠ B = 80 °$ D、 $∠ A = 50 ° ， ∠ B = 60 ° ， A B = 4$

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8、下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、定义一种新的运算“

Δ

”：

$(+ 2) Δ (+ 3) = + 6$ ；	$(+ 8) Δ (- 2) = - 4$ ；	$0 Δ (- 5) = 0$ ；
$(+ 5) Δ (+ 4) = + 20$ ；	$(+ 6) Δ (- 3) = - 2$ ；	$(+ 7) Δ 0 = 0$ ；
$(- 4) Δ (- 3) = + 12$ ；	$(- 4) Δ (+ 2) = - 2$ ；
$(- 5) Δ (- 2) = + 10$ ；	$(- 12) Δ (+ 4) = - 3$ ；

(1)、仔细观察，归纳“

Δ

”运算法则：两数进行“

Δ

”运算时，______；

特别地，0与任何数进行“ $Δ$ ”运算，或任何数与0进行“ $Δ$ ”运算，结果为______；

(2)、计算：

(- 5) Δ [3 Δ (- 10)]

；

(3)、已知

x > 0

，

A = (+ 2) Δ (x^{2} + 3 x + 3)

，

B = (2 x^{2} + 12 x + 10) Δ (- 2)

，试判断

A + B

的值是否大于0？并说明理由．

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10、请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法，求代数式 $x^{2} + 2 x - 3$ 的最小值．
$x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} + 2 x + 1^{2} - 1^{2} - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4$ ，
∵ ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ ， ∴当 $x = - 1$ 时， $x^{2} + 2 x - 3$ 有最小值 $- 4$ ．
请根据上述方法，解答下列问题：

(1)、 $x^{2} + 6 x + 10 = x^{2} + 2 \times 3 x + 3^{2} - 3^{2} + 10 = {(x + a)}^{2} + b$ ，则 $a =$ ________， $b =$ ________；

(2)、求证：无论x取何值，代数式 $- x^{2} + 2 x - 5$ 的值都是负数；

(3)、若代数式 $x^{2} - 2 k x + 7$ 的最小值为3，求k的值．

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11、已知x^a＝3，x^b＝6，x^c＝12，x^d＝18．
（1）求证：①a+c＝2b；②a+b＝d；
（2）求x^2a^﹣^b+c的值．

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12、用简便方法计算：

(1)、 $502^{2}$

(2)、 $2023^{2} - 2024 \times 2022$

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13、计算：

(1)、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{3}|$

(2)、 $x^{3} \cdot {(2 x^{3})}^{2} \div {(x^{4})}^{2}$

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14、在数学中，为了书写简便， $18$ 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ $\sum$ ”，如 $\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + n$ ， $\sum_{k = 3}^{n} (x + k) = (x + 3) + (x + 4) + \dots + (x + n)$ ；已知 $\sum_{k = 2}^{n} [(x + k + 2) (x - k - 1)] = 4 x^{2} + 4 x + m$ ，则 $m + n$ 的值是．

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15、若 $(2 x + a) (3 x + 5)$ 的结果为 $6 x^{2} + b x - 10$ ，则 $b =$ ．

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16、若 $x$ ， $y$ 为实数，且满足 $(x + y - 4)^{2} + \sqrt{3 x - y} = 0$ ，那么 $\sqrt[3]{2 x - y}$ 的值为．

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17、若多项式 $m x^{2} - 5 x + 2$ 有一个因式为 $(x - 1)$ ，那么 $m =$ ．

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18、比较大小2 $\sqrt{3}$

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19、若 $x^{2} - 2 (m - 1) x + 9$ 是完全平方式，则m的值为（）

A、4 B、2或 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $- 2$ 或4

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20、已知 $a + b = - 3$ ， $a - b = 2$ ，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值是（）

A、 $- 3$ B、2 C、 $- 6$ D、6

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