相关试卷

1、阅读理解：
一位同学将代数式 $x^{2} - 2 x + 5$ 变形为 $(x^{2} - 2 x + 1) + 4$ ，得到 ${(x - 1)}^{2} + 4$ 后分析发现 ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ ，那么当 $x = 1$ 时，此代数式有最小值是4．
请同学们思考以下问题：

(1)、已知代数式 $x^{2} + 2 x - 1$ ，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．

(2)、已知代数式 $- x^{2} + 4 x + 9$ ，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．

(3)、通过阅读材料分析代数式 $2 x^{2} + 6 x - 1$ 的最值情况，写出详细过程及结论．

(4)、已知代数式 $a x^{2} + b x + c$ （其中a、b、c为常数，且 $a \neq 0$ ），探究此代数式的最值情况，若果有，请直接写出答案，如果没有，请说明理由．

查看解析
2、阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解： $a m + b m + a n + b n = (a m + b m) + (a n + b n) = m (a + b) + n (a + b) = (a + b) (m + n)$
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解： $a^{2} + 2 a b + b^{2} - 9 = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - 9 = {(a + b)}^{2} - 9 = (a + b + 3) (a + b - 3)$
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：

(1)、 $a b - a - b + 1$ ；

(2)、 $a^{2} - 9 b^{2} - 2 a + 6 b$ ；

(3)、 $n^{2} + (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 6)$ ．

查看解析
3、［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“ $3 + 1$ ”分组．二是“ $2 + 2$ ”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“ $3 + 1$ ”分组；若无法构成，则采用“ $2 + 2$ ”分组．
例如： $a m + b m + a n + b n = (a m + b m) + (a n + b n) = m (a + b) + n (a + b) = (a + b) (m + n)$ ；
$x^{2} + 2 x + 1 - 4 = (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 2^{2} = (x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x - 1) (x + 3)$ ．
［应用知识］

(1)、因式分解： $a^{2} - a b + b c - a c$ ．

(2)、因式分解： $- a^{2} - 6 a b - 9 b^{2} + 9$ ．

(3)、［拓展应用］
已知一三角形的三边长分别是 $a ， b ， c$ ，且满足： $2 a^{2} = c (2 a - c) + b (2 a - b)$ ．试判断这个三角形的形状，并说明理由．

查看解析
4、阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式： $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ ．
解：原式 $= x^{3} - 3 x^{2} - x^{2} + x + 6$ 第1步：拆项法，将 $- 4 x^{2}$ 拆成 $- 3 x^{2}$ 和 $- x^{2}$
$= (x^{3} - 3 x^{2}) - (x^{2} - x - 6)$ 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组
$= x^{2} (x - 3) - (x + 2) (x - 3)$ 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)
$= (x - 3) (x^{2} - x - 2)$ 第4步：提公因式法(整体)；
$= (x - 3) (x - 2) (x + 1)$ 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底

(1)、请你试一试分解因式： $x^{3} - 7 x + 6$ ；

(2)、请你试一试在实数范围内分解因式： $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ．

查看解析
5、【学习材料】——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$ ．
解：原式＝ $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 - 2) (x + 1 + 2) =（ x - 1) (x + 3 ）$ ．
例2分解因式：x³+5x﹣6．
解：原式＝x³－x+6x－6＝x（x²－1）+6（x－1）＝（x－1）（x²+x+6）．
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式：x²+14x－51＝．

(2)、化简： $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x + 2}$ ．

查看解析
6、【阅读理解】
对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ ，能直接用公式法进行因式分解，得到 $x^{2} + 2 a x + a^{2} = {(x + a)}^{2}$ ，但对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ ，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$ ，使其成为完全平方式，再减去 $a^{2}$ 这项，使整个式子的值不变，于是： $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} - a^{2} - 3 a^{2} = (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - 4 a^{2} = {(x + a)}^{2} - {(2 a)}^{2} = (x + a + 2 a) (x + a - 2 a) = (x + 3 a) (x - a)$
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．

(1)、【问题解决】请用上述方法将二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$ 分解因式．

(2)、运用材料中的添（拆）项法分解因式： $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$ ．

查看解析
7、你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！

(1)、提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： $x y^{2} - x^{3} y =$ ；

(2)、十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式 $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ 的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 $x^{2} + 5 x + 6 =$ ▲ ；
②解方程： $x^{2} - 6 x + 12 = x$ ．

(3)、拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 =$ ；
② $x^{3} - 2 x - 1 =$ ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： $a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a - 3 b - 4 =$ ．

查看解析
8、阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如 $x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y$ ，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y$
$= (x^{2} - 4 y^{2}) + (2 x - 4 y)$ …分组
$= (x - 2 y) (x + 2 y) + 2 (x - 2 y)$ …组内分解因式
$= (x - 2 y) (x + 2 y + 2)$ …整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、按上述方法因式分解：
① $x^{2} y - 4 y - 2 x^{2} + 8$ ；
② $m^{3} - 3 m^{2} - 9 m + 27$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $△ A B C$ 的三边，且 $b^{2} + 2 a b = c^{2} + 2 a c$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

查看解析
9、阅读材料A：利用完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ ，可以解决很多的数学问题．
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：∵ $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，
∴ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ，
即： $a^{2} + b^{2} + 2 = 9$ ． ∴ $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式 $(x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：令 $x^{2} - 2 x = y$ ，
原式 $= (y - 1) (y + 3) + 4$ （第一步）
$= y^{2} + 2 y + 1$ （第二步）
$= {(y + 1)}^{2}$ （第三步）
$= {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ （第四步）

(1)、请根据材料A ，解答问题：若 $x - y = 4$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、请根据材料B ，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果_▲_；
②因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$ ．

(3)、综合运用：
若实数x满足 ${(2023 - x)}^{2} + {(x - 2024)}^{2} = 50$ ，求 $(2023 - x) (x - 2024)$ 的值．

查看解析
10、阅读材料：我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 这样的式子叫做完全平方式 $.$ 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3$ ．
原式 $= (x^{2} + 2 x + 1 - 1) - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ．
由上式可知： $x^{2} + 2 x - 3$ = ${(x + 1)}^{2} - 4$ ，因为 $不论 x 取何值， (x + 1)^{2}$ ≥0，所以当 $x + 1$ =0，即 $x = - 1$ 时， $x^{2} + 2 x - 3$ 的最小值是-4．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．

(1)、利用配方法分解因式： $x^{2} - 6 x - 27$ ；

(2)、根据上面解题思路可知多项式 $x^{2} - 6 x - 27$ 有最小值，即当x= 时，最小值是．

(3)、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是 $△ A B C$ 三边的长且 $2 a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a (b + c) = 0$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

查看解析
11、阅读材料：若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求 $m$ 、 $n$ 的值．
解： $∵ m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，
$∴ (m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$
$∴ {(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ，而 ${(m - n)}^{2} \geq 0$ ， ${(n - 4)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ {(m - n)}^{2} = 0$ 且 ${(n - 4)}^{2} = 0$ ，
$∴ n = 4$ ， $m = 4$ ．
根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 4 = 0$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c = 0$ ，则此三角形的形状为．

(3)、已知 $△ A B C$ 的三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正整数，且 $a^{2} + b^{2} - 2 a - 6 b + 10 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看解析
12、“我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$
解：原式 $= (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = [(x + 1) + 2] [(x + 1) - 2] = (x + 3) (x - 1)$
例如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值．
解： $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 {(x + 1)}^{2} - 8$ ，
因为： $2 {(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，所以：当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $m^{2} - 2 m - 3 =$ ．

(2)、当a ， b为何值时，多项式 $a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 9$ 有最小值，并求出这个最小值．

(3)、已知a ， b ， c是 $△ A B C$ 的三条边，且满足 $a^{2} - 4 a + b^{2} - 6 b + c^{2} - 4 c + 17 = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

查看解析
13、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如： $4 = 2^{2} - 0^{2}$ ， $12 = 4^{2} - 2^{2}$ ， $20 = 6^{2} - 4^{2}$ ，因此4， $12 ， 20$ 这三个数都是神奇数，

(1)、直接判断： $28$ （是或不是）神奇数， $2024$ （是或不是）神奇数；

(2)、设两个连续偶数为 $2 k + 2$ 和 $2 k$ （其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的“发现”（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。
①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．
②田田发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数．
③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数．

查看解析
14、下列因式分解不正确的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ B、 $x^{2} + 4 x - 5 = (x - 1) (x + 5)$ C、 $4 x^{2} + 4 x + 1 = {(2 x + 1)}^{2}$ D、 $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$

查看解析
15、阅读以下材料
材料：因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$
解：将“ $x + y$ ”看成整体，令 $x + y = A$ ，则原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = {(A + 1)}^{2}$
再将“A”还原，得原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)、因式分解： $1 - 2 (x - y) + {(x - y)}^{2} =$ ；

(2)、因式分解： $(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4$ ；

查看解析
16、下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．
因式分解： $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ ．
解：设 $x^{2} - 2 x = y$ ，
原式 $= y (y + 2) + 1$
$=$ ____
$= {(y + 1)}^{2}$ （依据）

$= {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$
$=$ ____．
任务：

(1)、将学习笔记补充完整．

(2)、材料中的依据是指．（填序号）
①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式．

(3)、请你模仿上述方法，对多项式 ${(a - b + 1)}^{2} + 2 (a - b) - 1$ 进行因式分解．

查看解析
17、分解因式

(1)、 $4 {(a - b)}^{2} - {(a + b)}^{2}$

(2)、 $- 9 m^{2} + {(2 m - 4 n)}^{2}$

(3)、 ${(x^{2} - 2 y)}^{2} - {(1 - 2 y)}^{2}$

查看解析
18、在实数范围内分解因式： $81 a^{4} - 16 b^{4}$ ．
丽华的解题过程如下：
解：原式 $= (9 a^{2} + 4 b^{2}) (9 a^{2} - 4 b^{2})$ ．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．

查看解析
19、把下列各式分解因式：

(1)、 $- 5 a^{2} b^{3} + 20 a b^{2} - 5 a b$ ；

(2)、 $(x + y) (x - y) - {(x + y)}^{2}$ ；

(3)、 $8 a {(x - y)}^{2} - 4 {(y - x)}^{3}$ ；

(4)、 $x (x^{2} - x y) - (4 x^{2} - 4 x y)$ ．

查看解析
20、分解因式：

(1)、 $21 x y - 14 x z + 35 x^{2}$ ；

(2)、 $15 x y + 10 x^{2} - 5 x$ ；

(3)、 $(2 a + b) (3 a - 2 b) - 4 a (2 a + b)$ ；

(4)、 ${(x - 2)}^{2} - x + 2$ ．

查看解析

上一页 604 605 606 607 608 下一页跳转