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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, B C = 6$ ， D，E分别为线段 $A B$ ， $A C$ 上一点，且 $A D = A E$ ，连接 $B E$ 、 $C D$ 交于点G，延长 $A G$ 交 $B C$ 于点F．以下四个结论正确的是（）
① $B F = C F$ ；
②若 $B E ⊥ A C$ ，则 $C F = D F$ ；
③连结 $E F$ ，若 $B E ⊥ A C$ ，则 $∠ D F E = 2 ∠ A B E$ ；
④若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，则 $F G = \frac{3}{2}$

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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2、关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x > m + 3 \\ 5 x - 2 < 4 x + 1 \end{array}$ 的整数解仅有5个，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $- 6 < m < - 5$ B、 $- 6 \leq m < - 5$ C、 $- 6 < m \leq - 5$ D、 $- 6 \leq m \leq - 5$

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3、如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（）

A、25 B、16 C、50 D、41

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4、如图， $△ A B C$ 中，D为 $A B$ 中点，E在 $A C$ 上，且 $B E ⊥ A C$ ．若 $D E = 5$ ，则 $A B$ 的长度是（）

A、 $7.5$ B、8 C、 $10$ D、 $12$

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5、在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、如图，是一个不规则的五角星，则 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$ （用度数表示）．

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 cm$ ， $B C = 6 cm$ ．点 $P$ 从点 $D$ 出发向点 $A$ 运动，运动到点 $A$ 即停止；同时，点 $Q$ 从点 $B$ 出发向点 $C$ 运动，运动到点 $C$ 即停止，点 $P$ 、 $Q$ 的速度都是 $1 cm / s$ ．连接 $P Q$ 、 $A Q$ 、 $C P$ ．设点 $P$ 、 $Q$ 运动的时间为 $t s$ ．

(1)、当 $t =$ __________时，四边形 $A B Q P$ 是矩形；

(2)、当 $t =$ __________时，四边形 $A Q C P$ 是菱形；

(3)、是否存在某一时刻 $t$ 使得 $P Q ⊥ P C$ ，如果存在，请求出 $t$ 的值，如果不存在，请说明理由．

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8、解方程

(1)、 $x (x + 2) = 3 x + 2$

(2)、 $x (x + 1) = - 3 (x + 1)$ ；

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9、代数式 $- 3 x^{2} + 6 x - 4$ 的最大值是．

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10、如图所示的两个四边形相似，则α的度数是．

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11、一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是 $3 : 2 : 1$ ，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为 $P_{A}$ 、 $P_{B}$ 、 $P_{C}$ （压强的计算公式为 $P = \frac{F}{S}$ ），则 $P_{A} ∶ P_{B} ∶ P_{C} =$ ．

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12、如果 $\frac{a}{b}$ ＝3，则 $\frac{a}{b - a}$ ＝．

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13、在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 称为黄金分割数．设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ ， $S_{3} = \frac{1}{1 + a^{3}} + \frac{1}{1 + b^{3}}$ ， …， $S_{100} = \frac{1}{1 + a^{100}} + \frac{1}{1 + b^{100}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdot \cdot \cdot + S_{100}$ 的值为（）

A、 $100 \sqrt{5}$ B、 $200 \sqrt{2}$ C、100 D、5050

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14、若 $a$ 是关于 $x$ 的方程 $3 x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则 $2024 + 6 a^{2} - 2 a$ 的值是（）

A、2022 B、2026 C、2020 D、2019

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15、方程 $x (x - 2) = x$ 的解是（）

A、 $x = 3$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$

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16、若反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上有两点 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (- \frac{1}{2}, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、无法确定

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17、下列方程中是一元二次方程的是(　　)

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 1$ C、 $(x - 1) (x + 2) = 1$ D、 $3 x^{2} - 2 x y - 5 y^{2} = 0$

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18、如图，已知在等腰 $Rt △ A B E$ 中， $∠ A B E = 90 °$ ，过点 $A$ 作 $A D ∥ B E$ ，且 $A D = A B$ ， $A C ⊥ D E$ 于点 $C$ ，连接 $B C$ ，则 $\frac{C E - A C}{B C}$ 的值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、2

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19、综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
如图1，正方形纸片 $A B C D$ ，将 $∠ B$ 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 $A B C D$ 的内部，得到折痕 $A E$ ，点B的对应点为M，连接 $A M$ ；将 $∠ D$ 沿过点A的直线折叠，使 $A D$ 与 $A M$ 重合，得到折痕 $A F$ ，将纸片展平，连接 $E F$ ．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① $∠ E A F =$ ______°；
②线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系为______．
【深入探究】
如图2，将 $∠ C$ 沿 $E F$ 所在直线折叠，使点C落在正方形 $A B C D$ 的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接 $N E$ ， $N F$ ．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在 $B C$ 边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕 $A E$ 上，此时 $A M$ 交 $N F$ 于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出 $A P = B E + D F$ ．请判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片 $A B C D$ 的边长为3，当点N落在折痕 $A E$ 上时，求出线段 $C E$ 的长．

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = ∠ C A D = 90 °$ ，点E在 $B C$ 上， $A E ∥ D C, E F ⊥ A B$ ，垂足为F．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A C, B C = 8, B F = 4$ ，求 $\sin B$ 的值．

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