相关试卷

1、化简求值： $(\frac{1}{a - 2} - 1) \div \frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 4 a + 4}$ ，从1，2，3， $- 3$ 中选择一个合适的数代入并求值．

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2、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 4 - x > 2 (1 - x) \\ \frac{x - 2}{3} \leq - 1 + \frac{7 - x}{4} \end{array}$ ，并求出它的所有整数解．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A D$ ，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点 $F$ ．若 $A E = \sqrt{3}$ ，则 $D F =$ ．

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4、新定义规定以下变换： $f (a, b) = \{\begin{array}{l} \frac{a - b}{2}, a \geq b \\ \frac{b - a}{2}, a < b \end{array}$ ，若 $f (1, x) \geq 2$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，若 $A E = 6$ ，则 $E C$ 的长为．

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6、若分式 $\frac{|x| - 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ 的值为0，则 $x =$ ．

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7、如图，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转得到 $△ A D E$ ，点B的对应点D恰好落在边 $B C$ 上．若 $∠ C = 30 °$ ， $∠ C A E = 20 °$ ，则 $∠ D A C$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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8、下列说法正确的是（）

A、线段经过旋转，对应线段平行且相等 B、到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 C、若代数式 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围为 $x \geq - 2$ D、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} x \leq - 1 \\ x < a \end{matrix}$ 的解集是 $x \leq - 1$ ，则 $a$ 的值可以是3

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9、下列分解因式正确的是（）

A、 $x^{2} + 2 x y - y^{2} = {(x - y)}^{2}$ B、 $3 a x^{2} - 6 a x = 3 (a x^{2} - 2 a x)$ C、 $m^{3} - m = m (m - 1) (m + 1)$ D、 $a^{2} - 4 = {(a - 2)}^{2}$

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10、如图，数轴上的点 $A$ 与点 $B$ 所表示的数分别为 $a$ ， $b$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $a + m < b + m$ B、 $1 - 2 a > 1 - 2 b$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$

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11、如图，二次函数 $y = a x^{2}$ 的图象经过点 $(1, 1)$ ，点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ ， $R (x_{3}, y_{3})$ 是此二次函数图象上的三个动点．

(1)、求此二次函数的表达式；

(2)、已知 $x_{2} = 2 x_{1}$ ， $x_{3} = x_{1} + 1$ ，且 $0 < x_{1} < 1$ ．
①若直线 $P R$ ， $Q R$ 分别交y轴于点 $A ， B$ ，求证： $O A = A B$ ；
②过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线分别交 $O R$ ， $R Q$ 于点 $C ， D$ ，设 $m = S_{△ C D R} - S_{△ O P R}$ ，试探究当 $x_{1}$ 取何值时， $m$ 取得最大值？请求出 $m$ 的最大值．

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12、小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角 $∠ A P D = 120 °$ 时，看书最为舒适．小明的眼睛位于C处，旋转点P到点B的距离为 $20 cm$ ．（以下结果均保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $sin 16 ° \approx 0.28$ ， $cos 16 ° \approx 0.96$ ）

(1)、求此时点B到桌面 $P D$ 的距离；

(2)、如果小明的眼睛在点C处看B处的俯角为 $16 °$ ，眼睛到桌面的垂直高度为 $C D$ ，点P到点D的距离为 $26 cm$ ，求此时眼睛到B点的距离（即 $B C$ 的长度）．

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13、如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $D$ 在 $O C$ 的延长线上，连接 $O A$ ， $A D$ ，满足 $∠ C A D = 30 °$ ， _____________．请从“① $∠ B = 30 °$ ；② $∠ A C D = 120 °$ ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：

(1)、求 $∠ O A C$ 的度数；

(2)、试判断 $A D$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

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14、先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + a}$ ，其中 $a = 5$ ．

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15、计算： $|- 3| + {(\sqrt[3]{27} - 1)}^{0} + 2 sin 30 ° - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ；

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16、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $O C$ 的中点， $E F ∥ A B$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．若 $A B = 4$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $2$

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17、在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量E可以用公式 $E = \sqrt{a^{2} + b}$ 表示，当 $a = 8$ ， $b = 9$ 时，该微观粒子的能量 $E$ 的值在（　　）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、8和9之间

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18、在平面直角坐标系xOy中.

(1)、如图1，点K（2，0）绕点L（0，4）顺时针旋转90°得到点K'，则点K'的坐标为；

(2)、如图2，点A（2，0），B（0，2 $\sqrt{3}$ ），若直线AB绕点B顺时针旋转60°得到直线BC，直线BC与x轴交于点C，求点C的坐标；

(3)、如图3，直线l分别与函数 $y = \frac{4}{x}, y = \frac{9}{x}$ 的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转45°，与函数 $y = \frac{9}{x}$ 的图象交于点F，连接DF，若DF∥x轴，求 $\frac{E F}{O E}$ 的值.

(4)、如图4，已知抛物线 $G : y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2$ 与x轴交于点P，Q，以x轴上的点H（m，0）为旋转中心，将抛物线G绕点H旋转180°得到一个新抛物线G₁ ，过点H（m，0）作x轴垂线，分别交抛物线G和抛物线G₁于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为G₂.当平行于m轴的直线与G₂的公共点个数为3个时，请直接写出此时m的值.

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19、【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”.
【示例】如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形.ABCD'
【性质探究】小明同学研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明思路如下：
如图2，连接对角线BD，取BD中点O，连接OA，OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°，① ，
$∴ O A = \frac{1}{2} B D, O C =$ ②
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上.

(1)、请补全小明同学的证明过程.

(2)、【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E.
①求证：四边形APED是“对直四边形”；
②若AB=8，AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长.

(3)、【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC（k为正实数）.点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F.请求出 $\frac{P E}{E F}$ 的值（用含k的式子表示）.

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20、综合与实践
木工中蕴含着丰富的数学知识.如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题.
如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条MOBP中MO∥PB，窄木条NOAQ中ON∥AQ，∠MOB=∠NOA=135°），当遇到转角为直角（∠MON=90°）的地面时，发现拼接后点A与点B不能重合.在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接.
第一步：如图2，画出QA的延长线，交BP于点C，连接OC；
第二步：如图3，沿着射线OB方向，平移窄木条NOAQ，得到N'O'A'Q'，使点A'与点B重合，延长MO，交窄木条的边N'O'于点D，连接BD；
第三步：沿着OC、BD切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接.

(1)、如图4，如果宽木条MOBP的宽度为12cm，窄木条NOCQ的宽度为8cm，宽木条MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP=；

(2)、请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性；

(3)、如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为2：1的两根长方形木条切割后拼接辅入该转角处，则tanα=

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