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1、阅读下面的解题过程，判断其是否正确。若不正确，请写出正确的解答过程。
已知m为实数，化简： $- \sqrt{- m^{3}} - m \sqrt{- \frac{1}{m}} 。$
解：原式 $= - m \sqrt{- m} - m \cdot \frac{1}{m} \sqrt{- m} = (- m - 1) \sqrt{- m} 。$

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2、阅读材料，解答问题。
例：若代数式 $\sqrt{{(2 - a)}^{2}} + \sqrt{{(a - 4)}^{2}}$ 的值是常数2，求a的取值范围。
分析：原式=|a-2|+|a-4|，而|a|表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，|a-2|表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析。
在数轴上看，讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，还是在数4表示的点右边，分析可得a的取值范围应是2≤a≤4。
解：原式=|a-2|+|a-4|。

(1)、此例题的解答过程用到了哪些数学思想?请列举。

(2)、化简： $\sqrt{{(3 - a)}^{2}} + \sqrt{{(a - 7)}^{2}} 。$

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3、我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。
用式子表示即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积)。①
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} （$ 其中 $p = \frac{a + b + c}{2}) 。 ②$

(1)、若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S。

(2)、你能否由公式①推导出公式②?请试试。

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4、计算：

(1)、已知a，b满足（ ${(a + 3 b + 1)}^{2} + \sqrt{b - 2} = 0,$ 且 $\sqrt[3]{c} = 5,$ 求 $3 a^{2} + 7 b - c$ 的平方根。

(2)、已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简： $\sqrt{a^{2}} + ∣ c - a ∣ + \sqrt{{(b - c)}^{2}} 。$

(3)、已知x，y满足 $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 9} + \sqrt{9 - x^{2}} + 1}{x - 3},$ 求5x+6y的值。

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5、解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ 。
$∴ (a - 2)^{2} = 3$ 即 $a^{2} -$ 4a $+ 4 = 3 。 ∴ a^{2} - 4 a = - 1 。 ∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ l。
请你根据小明的分析过程，解决下列问题：

(1)、化简： ${\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}}^{\circ}$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1},$ 求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值。

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6、规定新运算符号“☆”： a☆ $b = a b + \frac{3}{b} - \sqrt{3} 。$ 如：（-2)☆ $1 = (- 2) \times 1 + \frac{3}{1} - \sqrt{3} 。$

(1)、求 $(\sqrt{12} + \sqrt{3})$ ☆ $\sqrt{12}$ 的值。

(2)、若 $(- \sqrt{2 x - 1}) ☆ (- \frac{1}{3}) = - \sqrt{3},$ 求x的值。

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7、如图，将一张长、宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。

(1)、用含a，b，x的代数式表示这张纸片剩余部分的面积。

(2)、当 $a = 20 + 2 \sqrt{2}, b = 20 - 2 \sqrt{2}, x = \sqrt{2},$ 求剩余部分的面积。

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8、已知m是 $\sqrt{2}$ 的小数部分。

(1)、求 $m^{2} + 2 m + 1$ 的值。

(2)、求 $\sqrt{m^{2} + \frac{1}{m^{2}} - 2}$ 的值。

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9、计算：

(1)、 $\sqrt{18} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{24} \div \sqrt{3} 。$

(2)、 ${(\sqrt{5} + 1)}^{2} - (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) 。$

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10、计算 $\sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} - \sqrt{24} \div \sqrt{3}$ 的值时，小亮的解题过程如下：
解： $\sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} - \sqrt{24} \div \sqrt{3}$
$= 2 \sqrt{6 \times 3} - \sqrt{\frac{24}{3}}$      ①
$= 2 \sqrt{18} - \sqrt{8}$      ②
$= (2 - 1) \sqrt{18 - 8}$      ③
$= \sqrt{10}$      ④

(1)、老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第步开始出错的。

(2)、请你给出正确的解题过程。

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11、观察下列等式：
第1个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 1} = 1 \frac{1}{2};$
第2个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1} = 1 \frac{1}{6};$
第3个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1} = 1 \frac{1}{12};$
……
请你根据以上规律，写出第n个等式：。

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12、我们定义[a]为不超过a的最大整数，例如：[3.14]=3，[8]=8，[-0.618]=-1，[-7.1]=-8，[-4]=-4。若 $[5 - 3 \sqrt{a + 1}] = - 2,$ 则a的取值范围是。

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13、已知实数a，b对应的点在数轴上的位置如图，化简： $∣ a + b ∣ + \sqrt{{(b - a)}^{2}} =$ 。

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14、已知. $x = \sqrt{6} + \sqrt{3},$ 则 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x$ 的值是。

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15、一个面积为 $\sqrt{48}$ 的长方形，若其宽为 $\sqrt{6},$ ，则长为。

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16、已知 $m a x \{\sqrt{x}, x^{2}, x\}$ 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x=9时， $m a x \{\sqrt{x}, x^{2}, x\} =$ $m a x \{\sqrt{9}, 9^{2}, 9\} = 81 。$ 当 $m a x \{\sqrt{x}, x^{2}, x\} = \frac{1}{2}$ 时，x的值为（ )。

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、已知实数a在数轴上的位置如图，则. $\sqrt{{(a - 4)}^{2}} - \sqrt{{(a - 11)}^{2}}$ 化简后为（）。

A、7 B、-7 C、2a-15 D、无法确定

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18、如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形ABCD的面积是75，AE $= 3 \sqrt{3},$ 图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的周长为（）。

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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19、有下列算式：①（ $\sqrt{2}$ )²=2；② $\sqrt{（ - 2) ²}$ =2；③（-2 $\sqrt{3}$ )²=12；（ $④ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}) =$ -1，其中结果正确的个数为（）。

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、 $\sqrt{(4 - a) {(a - 2)}^{2}} = (a - 2) \sqrt{4 - a}$ 成立的条件是（）。

A、a≤2 B、a≤4 C、a≥2 D、2≤a≤4

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