相关试卷

1、已知三个正整数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $0 < x < y < z$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，求 $x$ ， $y$ ， $z$ ．
解： $∵ 0 < x < y < z$ ， $∴ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$ ；
由 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ， $\frac{1}{x} > \frac{1}{z}$ ，可得 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，
$∴ \frac{3}{x} > 1$ ，解得 $x < 3$ ，
又 $∵ \frac{1}{x} < \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，解得 $x > 1$ ，
综上， $x$ 的取值范围是①                  ，
$∵ x$ 为正整数， $∴ x =$ ②                       ．

(1)、直接填空：①               ；②                  ．

(2)、类比上述探究方法，求出 $y$ 的取值范围；

(3)、直接写出方程 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ 的正整数解．

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2、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ⊥ B C$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，并延长 $A E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ F C E$ ；

(2)、求证：四边形 $A C F D$ 是矩形．

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3、某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制， $x \geq 80$ 为卓越奖， $60 \leq x < 80$ 为优秀奖； $x < 60$ 为鼓励奖）．
【数据的收集】随机抽取 $20$ 名学生成绩如下：
93.5       75.5       89.5       81       46.5       95.5       82       77.5       81.5       55.5
99            70.5       86            92       95.5       52            57       65.5       68            85.5
【数据的整理】成绩频数分布表如下：
分组
组中值
划记
频数
$40 \leq x < 50$
$45$
一
$1$
$50 \leq x < 60$
$55$
$3$
$60 \leq x < 70$
$65$

$a$
$70 \leq x < 80$
$75$
$3$
$80 \leq x < 90$
$85$

$b$
$90 \leq x \leq 100$
$95$
正
$5$
【数据的描述】成绩频数分布直方图如下：
【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$                  ； $b =$                ；并补全成绩的频数分布直方图；

(2)、求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）；

(3)、若该校参加竞赛的学生共有 $300$ 人，估算该校获得卓越奖的人数．

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4、如图 $1$ ，在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 120 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点 $C$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，连接 $A B$ ， $O C$ ，并且 $A B$ ， $O C$ 交于点 $D$ ，若 $C D = 3$ ．
①求 $\overset{⌢}{A B}$ 的长；
②如图 $2$ ，将如图 $1$ 中的扇形 $O A B$ 围成圆锥， $O A$ ， $O B$ 恰好重合，求圆锥的底面半径．

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5、按要求完成下列计算：

(1)、计算： ${(- 2)}^{2} \times \frac{1}{4} - 5$ ；

(2)、化简： $\frac{a^{2} - 1}{a - 1} \div \frac{a + 1}{a}$ ．

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6、汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图 $1$ 所示，为了安全，许多路口都设置如图 $2$ 的“右转危险区”（阴影部分）示意图． $A B$ ， $C D$ 与扇形 $O_{1} A D$ 分别相切于点 $A$ ，点 $D$ ，与扇形 $O_{2} B C$ 分别相切于点 $B$ ，点 $C$ ，后内轮转弯半径 $O_{1} A = O_{1} D = 12 m$ ，前内轮转弯半径 $O_{2} B = O_{2} C = 6 m$ ， $∠ D O_{1} A = ∠ C O_{2} B = 90 °$ ．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是 $m^{2}$ ．

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7、用若干张图 $1$ 中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图 $2$ ，则 $2 x + y =$ °．

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8、如图，在月历表中任取 $1$ 天，恰好这一天是星期二的概率是．

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9、单项式 $3 a^{2} b$ 的系数为．

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10、中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为 $x$ ，频率为 $y$ ，选取 $5$ 组数对 $(x, y)$ ，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 两个根，则 $x_{1} x_{2}$ 值为（）

A、 $5$ B、 $- 5$ C、 $2$ D、 $- 2$

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12、如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（）

A、两点确定一条直线 B、经过一点有无数条直线 C、垂线段最短 D、两点之间，线段最短

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13、某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动， $7$ 位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的 $5$ 个评分与原始的 $7$ 个评分相比一定不发生变化的是（）

A、中位数 B、加权平均数 C、算术平均数 D、众数

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，将线段 $C D$ 水平向左平移 $n$ 个单位得到线段 $M N$ ，若四边形 $A B M N$ 为菱形，则 $n$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $5$

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15、如图，若 $△ A B C$ 的三边长 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ，则 $tan C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, - 2)$ D、 $(2, - 2)$

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17、若长度分别为 $3$ ， $5$ ， $a$ 的三条线段能组成一个三角形，则 $a$ 的值可能是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $6$ D、 $9$

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18、今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客 $139.04$ 万人次．数据 $1390400$ 用科学记数法表示为（）

A、 $13.904 \times 10^{5}$ B、 $1.3904 \times 10^{5}$ C、 $1.3904 \times 10^{6}$ D、 $0.13904 \times 10^{7}$

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19、下列立体图形中，主视图，左视图，俯视图都是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、下面各数是负数的是（）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{3}$

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分组	组中值	划记	频数
$40 \leq x < 50$	$45$	一	$1$
$50 \leq x < 60$	$55$		$3$
$60 \leq x < 70$	$65$		$a$
$70 \leq x < 80$	$75$		$3$
$80 \leq x < 90$	$85$		$b$
$90 \leq x \leq 100$	$95$	正	$5$