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1、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为直线 $B C$ 上任意一点，连接 $A D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $B G ⊥ A C$ 于点 $G$ ．

(1)、如图1，观察、测量、猜想、证明 $D E$ ， $D F$ ， $B G$ 之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的： $∵ S_{△ A B C} =$ __________ $+ S_{△ A C D}$ ．
$∴ \frac{1}{2} A C \cdot B G = \frac{1}{2} A B \cdot D E +$ __________．
$∵ A B = A C$ ，
$∴$ __________．

(2)、如图 $1$ ，当点 $D$ 为 $B C$ 中点时，试判断 $B G$ 与 $D E$ 的数量关系__________．

(3)、如图2，当点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上时，请猜想 $D E$ ， $D F$ ， $B G$ 之间的数量关系并证明．

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2、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为直线 $B C$ 上任意一点，连接 $A D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $B G ⊥ A C$ 于点 $G$ ．

(1)、如图1，观察、测量、猜想、证明 $D E$ ， $D F$ ， $B G$ 之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的： $∵ S_{△ A B C} =$ __________ $+ S_{△ A C D}$ ．
$∴ \frac{1}{2} A C \cdot B G = \frac{1}{2} A B \cdot D E +$ __________．
$∵ A B = A C$ ，
$∴$ __________．

(2)、如图 $1$ ，当点 $D$ 为 $B C$ 中点时，试判断 $B G$ 与 $D E$ 的数量关系__________．

(3)、如图2，当点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上时，请猜想 $D E$ ， $D F$ ， $B G$ 之间的数量关系并证明．

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3、在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点）， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ； $△ A C B_{1}$ 的面积为___________；

(2)、在所给的网格内，在直线 $m$ 上找一点 $P$ ，使 $△ P A C$ 的面积等于 $△ A B C$ 的面积．

(3)、在直线 $l$ 上确定一点 $Q$ ，使得 $△ Q B C$ 的周长最小．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $B D ∥ A C$ ，点E为 $A B$ 上一点，且 $A E = B D$ ，连接 $A D ， E C$ ，求证： $A D = E C$ ．

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5、如图 $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B C$ 于 $D$ ，点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上，满足 $∠ A D E + ∠ C A B = 180 °$ ，若 $A C = 6$ ， $B E = \frac{5}{2}$ ，则线段 $A B$ 的长为．

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6、如图，已知 $Rt △ A C B$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 5$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的动点，满足 $A D = B E$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ，则 $A E + C D$ 取得最小值时，线段 $A D$ 的长为（）．

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{17}{5}$ D、 $\frac{7}{2}$

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7、如图，已知， $∠ M O N = 30 °$ ，点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ ， …在射线 $O N$ 上，点 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ ， …在射线 $O M$ 上， $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ 、 $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ 、 $△ A_{3} B_{3} A_{4}$ ， …均为等边三角形，若 $O A_{1} = 2$ ，则 $△ A_{5} B_{5} A_{6}$ 的边长为（）

A、64 B、48 C、32 D、16

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $P$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B P$ ，若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $△ P B D$ 的面积是6，则 $△ A D C$ 的面积是（）

A、8 B、9 C、 $10$ D、 $11$

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9、如图， $A B ∥ E D, ∠ A = 35 °, ∠ C = 15 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（　　）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $110 °$ D、 $135 °$

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10、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $C (3, 0)$ 和点 $D (0, 6)$ ，直线 $y_{1} = \frac{1}{2} x + m$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线 $C D$ 相交于点E，且 $O D = 3 O A$ ．

(1)、求一次函数 $y = k x + b$ 的解析式；

(2)、求四边形 $O B E C$ 的面积 $S_{四边形 O B E C}$ ；

(3)、若在x轴上存在点P，使得 $S_{△ A B P} = \frac{4}{5} S_{△ B D E}$ ，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；

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11、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D为 $A B$ 边的中点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E．点F为线段 $D E$ 上一点，连接 $A F$ ， $B F$ ，将线段 $A F$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 至 $A G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ A C G$ ；

(2)、若 $D F = a$ ， $E F = b$ ．
①如图2，连接 $F G$ 交 $A C$ 于H，当 $△ A G H$ 与 $△ A F H$ 的面积之比是 $3 : 2$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值；
②如图3，延长 $D E$ 交 $G C$ 于点M，当 $A F ∥ G C$ 时，试求出 $∠ G A C$ 的度数及 $△ G F M$ 的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）．

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12、数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题可以相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

(1)、如图（1），一个边长为a的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为________；

(2)、若x满足 ${(2026 - x)}^{2} + {(x - 2023)}^{2} = 5$ ，求 $(2026 - x) (4046 - 2 x)$ 的值；

(3)、如图（2），已知正方形 $A B C D$ 的边长为x，G，E分别是 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $A G = 1$ ， $C E = 3$ ，若长方形 $G F E B$ 的面积为48，以线段 $E F$ 和线段 $B E$ 为边分别作正方形 $M N E F$ 与正方形 $B E H P$ ，求图中阴影部分面积．

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13、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题．
例如 $x^{2} + 4 x + 6 = (x^{2} + 4 x + 4) + 2 = {(x + 2)}^{2} + 2$ ．可知当 ${(x + 2)}^{2} = 0$ ，即 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 6$ 有最小值，最小值是2．
根据阅读材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的最小值为________；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长a，b，c，且满足 $a^{2} + b^{2} - 6 a - 10 b + 34 = 0$ ，求边c的取值范围；

(3)、已知 $P = 3 m^{2} + 4 n + 19$ ， $Q = m^{2} - n^{2} + 12 m - 4$ ，试比较P，Q的大小．

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14、定义：若一个两位数k，满足 $k = m^{2} + m n + n^{2}$ （m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记 $S_{(k)} = m + n$ ．例如： $39 = 2^{2} + 2 \times 5 + 5^{2}$ ，则39是一个“近似完全平方数”，且 $S_{(39)} = 2 + 5 = 7$ ．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为 $___________$ ；若两位数k是“近似完全平方数”且满足 $S_{(k)} = \frac{k + 35}{12}$ ，则k的最大值为．

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15、如图，一副直角三角板（ $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ E F D = 60 °$ ）的斜边分别与直线 $a$ 、 $b$ 重合，且 $a ∥ b$ ，将 $△ A B C$ 、 $△ D E F$ 分别绕点 $B$ 、点 $E$ 以每秒 $4$ 度和每秒 $2$ 度的速度同时逆时针旋转， $△ A B C$ 转动一周回到初始位置时，两块三角板同时停止转动，设时间为 $t$ 秒，当 $A C$ 与 $△ D E F$ 的一边平行时， $t$ 的值为．

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16、如图，D是等边 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D ， B D ， C D$ ，以 $A D$ 为边作等边 $△ A D E$ ，使得点E在直线 $A C$ 的右侧，若 $∠ A D B = x °$ ， $∠ B D C = y °$ ，且 $△ C D E$ 是以 $D E$ 为腰的等腰三角形，则x与y的关系是．

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17、如图，将 $△ A B C$ 的边 $A B, B C, C A$ 分别延长至点D，E，F，使得 $A B = B D$ ， $B C = C E$ ， $C A = A F$ ，再连接 $D E, E F, F D$ ．现随机向 $△ D E F$ 内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是．

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18、已知 $x + 2 y + 2 = 0$ ，则 $3^{x} \cdot 9^{y} =$ ．

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19、如图，已知 $△ A B C$ ，点D为 $B C$ 边上一点，点E为 $△ A B C$ 外一点，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点F，连接 $A D$ ， $D E$ ，有 $∠ B = ∠ E = 40 °$ ， $∠ B A E = 60 °$ ，且 $∠ A D C = 70 °$ ．

(1)、求证： $B D = D E$ ；

(2)、若 $A B = C D$ ，求 $∠ A C D$ 的大小．

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20、如图所示的程序是一个数值转换程序，其中输入x的值满足 $- 3 \leq x \leq 4$ ．

(1)、若输入x的值为 $- 1$ ，求输出的结果为多少；

(2)、事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果不小于1”是一个________事件（填随机或必然）；

(3)、若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为2的概率．

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