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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其左顶点到点 $P (2, 1)$ 的距离为 $\sqrt{17}$ ，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的 $A$ ， $B$ 两点，与直线 $O P$ 交于点 $Q$ ，且 $\vec{A B} = 2 \vec{Q B}$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $M$ ， $N$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当 $△ A P B$ 的面积取最大值时，求 $△ M O N$ 的面积.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{5}$ ， $P D = 1$ ，
（i）求二面角 $P - D M - B$ 的余弦值；
（ii）在线段 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $Q$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ？若存在，求出 $P Q$ 的值；若不存在，说明理由.

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3、已知函数 $f (x) = e^{m x} (x^{2} - m x - 1)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(k, f (k))$ （ $k = 1, 2, 3$ ）处的切线记为 $l_{k}$ ．
①求 $l_{1}$ 的方程；
②设 $l_{k}$ 的交点构成 $△ A B C$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明．

(2)、讨论 $f (x)$ 的极值．

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ， $c \sin B + \sqrt{3} b \cdot \cos C = \sqrt{3} a$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 2$ ，求边 $A C$ 上的角平分线 $B D$ 长；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求边 $A C$ 上的中线 $B E$ 的取值范围．

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5、已知点 $P (5, 4)$ ，点F为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为．

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6、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ ，若对于任意的 $n \in N^{*}, k (a_{n} + 2) \geq 3 n - 5$ 恒成立，则实数k的最小值为.

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7、随机变量X服从正态分布 $X ~ N (8, σ^{2})$ ， $P (x > 10) = m$ ， $P (6 \leq x \leq 8) = n$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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8、已知圆 $Q_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $Q_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 的交点为 $A, B$ ，则（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 的中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{2}$ D、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9、如图，圆锥 $S O$ 的底面直径和母线长均为 $4 \sqrt{3}$ ，其轴截面为 $△ S A B$ ， $C$ 为底面半圆弧 $A B$ 上一点，且 $\overset{⌢}{A C} = 2 \overset{⌢}{C B}$ ， $\vec{S M} = λ \vec{S C}$ ， $\vec{S N} = μ \vec{S B} (0 < λ < 1, 0 < μ < 1)$ ，则（）

A、存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得 $B C ⊥ A M$ B、当 $μ = \frac{2}{3}$ 时，存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得 $A M //$ 平面 $O N C$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ ， $μ = \frac{2}{3}$ 时，四面体 $S A M N$ 的体积为 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、当 $A N ⊥ S C$ 时， $μ = \frac{5}{7}$

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10、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0 (m \in R)$ 的两根，则（）

A、 $z_{1} + z_{2} = 2$ B、 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若 $m > 1$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若 $m > 1$ ，则 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} < 2$

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11、在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线（ $D$ 在线段 $B C$ 上）， $C D = 1, A D = 2$ ，当 $A B + A C$ 取最小值时， $B D =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

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12、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $(0, + \infty)$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $\frac{x_{1} f (x_{2}) - x_{2} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，且 $f (3) = 6$ ， $f (a^{2} + 2 a) > 2 a^{2} + 4 a$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- 3, - 2) \cup (0, 1)$

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13、已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $B : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{9}$ ，则椭圆B的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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14、函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ 图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{6}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、正项递增等比数列 ${a_{n}}$ ，前n项的和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{4} = 30$ ， $a_{1} a_{5} = 81$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、121 B、364 C、728 D、1093

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16、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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17、设集合 $A = \{x |1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |x < a\}$ ，若 $A \cap B = A$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \leq 2$

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18、定义：对函数 $y = f (x), x \in D_{1}$ 和 $y = g (x), x \in D_{2}$ ， $D_{1} \cap D_{2} = D$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < k |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ ，则称“函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 具有 $k$ 类性质”.

(1)、判断 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{1}{2} x, x \in [1 ， + \infty)$ 是否具有 $2$ 类性质，并说明理由；

(2)、已知 $g (x) = 4 x - \frac{1}{x}$ ， $x \in [1 ， 2]$
①若 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 与 $g (x)$ 具有 $1$ 类性质，求 $a$ 的取值范围；
②若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有 $2$ 类性质，且 $f (1) = f (2)$ ，证明：对任意 $x_{1}, x_{2} \in [1 ， 2]$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < \frac{9}{2}$ .

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19、函数 $f (x)$ 满足：对任意实数 $x$ ， $y$ ，有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ 成立；函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ， $(x \neq 0)$ ， $g (2) = 1$ ，且当 $x > 1$ 时， $g (x) > 0$ .

(1)、求 $f (- 1)$ 并证明函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、证明：函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $g (x^{2} + 2 x + 3) - g (t x) > 2$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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20、某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待 $x$ 万名游客需要投入的流动成本为 $f (x)$ （单位：万元），
当游客人数不超过14万人时， $f (x) = \frac{200}{3} x^{2} - 1040 x + 3850$ ；
当游客人数超过14万人时， $f (x) = 170 x + \frac{4000}{x} - 1900$ ．

(1)、写出该市旅游净收入 $g (x)$ （万元）关于游客人数 $x$ （万人）的函数解析式；（注：旅游净收入 $=$ 旅游收入 $-$ 固定成本 $-$ 流动成本）；

(2)、当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？

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