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相关试卷

1、已知 $A$ ， $B$ 为随机事件，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ B、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.2$ C、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.7$ D、若 $P (B ∣ A) = 0.5$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = 0.3$

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2、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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3、若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y - 1 = 0$ 关于直线 $x + b y - 2 = 0$ 对称，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 a + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{5}$

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4、已知函数 $f (x) = sin ω x - \sqrt{3} cos ω x + \sqrt{3} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且仅有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{14}{3}, \frac{20}{3})$ B、 $[4, \frac{16}{3})$ C、 $[4, \frac{22}{3}]$ D、 $[4, \frac{22}{3})$

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5、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ，则“ $a_{5} = 2$ ”是“ $a_{9} = 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - a x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \geq 1$

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7、已知圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8、已知 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $|a + b i| =$ （）

A、2 B、3 C、5 D、 $\sqrt{29}$

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9、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 > 0\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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10、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $B$ 在平面 $A C D$ 的射影 $H$ 恰在 $C D$ 上， $M$ 为 $H C$ 中点， $∠ B A H = \frac{π}{6}$ ， $A B = 2$ ， $S_{△ A B M} = S_{△ A B D} = 1$ .

(1)、若 $C D ⊥$ 平面 $B A H$ ，证明： $M$ 是 $C D$ 的三等分点；

(2)、记 $D$ 的轨迹为曲线 $W$ ，判断 $W$ 是什么曲线，并说明理由；

(3)、求 $C D$ 的最小值.

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11、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $\sin^{2} A + \sin^{2} B = 2 + \cos 2 C$ .

(1)、证明： $\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ ；

(2)、求 $\frac{\sin C}{\sin A \sin B}$ 的最值；

(3)、若 $c = 6$ ， $A \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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12、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = n^{2} a_{n}$ .

(1)、求 $a_{3}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、证明： $S_{n} < a_{n} + n$ .

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln^{3} x} (x \neq 1)$

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明： $27 e^{x - 4} > \ln^{3} x$ .

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14、已知某早餐牛奶店甲推出了A和B两款新口味牛奶，另外一家早餐包子铺乙推出了一款新品包子C.且早餐牛奶店甲向某小区的一名用户配送A款新口味牛奶的概率为0.7，配送B款新口味牛奶的概率为0.5，同时配送A和B的概率为0.3；早餐包子铺乙向该用户配送新品包子C的概率为0.6，且甲店与乙店的配送结果互不影响.

(1)、在甲店没有向该用户配送A款新口味牛奶的条件下，求它向该用户配送B款新口味牛奶的概率；

(2)、求这两家店至少向该用户配送A、B、C中的一种的概率.

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15、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线交x轴于点Q，斜率为2的直线 $l$ 交 $C$ 于第一象限的点M，N，M在N的左侧，若第三象限内存在点P，满足 $\vec{P M} = \vec{M N}$ ，且 $\vec{P Q}$ 在 $\vec{M N}$ 上的投影数量为 $- \sqrt{5}$ ，则 $p$ 的取值范围为．（平面内向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影数量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ ）

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $5 x - y - 4 = 0$ ，则 $f (x)$ 的最小值为.

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17、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $6 a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $4 a_{2}$ 成等差数列，则其公比为.

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18、三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = B C = P C = 6$ ， $P A = P B = 4$ ，其各顶点均在球O的表面上，则（）

A、 $P A ⊥ P B$ B、点A到平面 $P B C$ 的距离为 $\sqrt{14}$ C、二面角 $A - P C - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{6}$ D、球O的表面积为 $\frac{324}{7} π$

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19、已知甲组样本数据： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}$ ，乙组样本数据： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且甲、乙两组样本数据的平均数相同，则（）

A、两组样本数据的样本中位数相同 B、两组样本数据的样本极差相同 C、两组样本数据的样本第30百分位数相同 D、两组样本数据的样本方差相同

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20、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{18} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则（）

A、 $E$ 的实轴长是虚轴长的9倍 B、 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $E$ 的焦距为4 D、 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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