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相关试卷

1、倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 相交于不同两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$ ，则（　　）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 1$ B、当 $α = 45^{\circ}$ 时， $|A B| = 8$ C、存在 $α$ ，使 $∠ A O B = 90^{\circ}$ （ $O$ 为坐标原点） D、对任意的 $α$ ，总存在点 $N$ ，使 $∠ A N O = ∠ B N O$ （ $O$ 为坐标原点）

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2、下列说法中不正确的是（　　）

A、平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ 的距离相等的点的轨迹是抛物线 B、平面内与两个定点 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ 的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 C、平面内与两个定点 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ 的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线 D、平面内与两个定点 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ 的距离之比等于2的点的轨迹是圆

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3、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $n = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x + 2 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是平面 $x - y + 1 = 0$ 与平面 $y - z + 2 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（　　）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4、已知点 $P$ 在棱长为1的正方体 $A B C D - E F G H$ 的内部且满足 $\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A E}$ ，则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{145}}{12}$

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5、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 3, A D = 2, A A^{'} = 3$ ， $∠ B A D = ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60^{\circ}$ ，则线段 $A C^{'}$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $\sqrt{43}$ C、 $\sqrt{22 + 21 \sqrt{3}}$ D、 $\frac{\sqrt{130}}{2}$

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6、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

A、若 $m / / n, m / / α$ 且 $n / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $m ⊥ n, m / / α$ 且 $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m / / α$ 且 $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ 且 $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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7、若直线 $x + y - m = 0$ 被圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $m =$ （　　）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 1$ C、 $\pm 2 \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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8、顶点在坐标原点，焦点坐标为 $(0, \frac{1}{2})$ 的抛物线的标准方程为（　　）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = x$ C、 $x^{2} = 2 y$ D、 $x^{2} = y$

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9、已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 5), \vec{b} = (1, 5, - 1)$ ，则（　　）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (- 2, 7, 6)$ B、 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ C、 $3 \vec{a} - \vec{b} = (- 10, - 1, 16)$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

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10、数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形 $△ A B C$ 中，点 $O$ 为斜边 $A B$ 的中点，点 $D$ 为斜边 $A B$ 上异于顶点的一个动点，设 $A D = a$ ， $B D = b$ ，则该图形可以完成的无字证明为（）

A、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)$ B、 $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (a > 0, b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)$

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11、命题“ $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \leq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 4 < 0$ C、 $\forall x \notin R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ D、 $\exists x \notin R, x^{2} - 2 x + 4 < 0$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (a) - 2) = 1$ ，则实数 $a$ 的取值集合为.

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13、已知正数x，y满足 $2 x + y - 2 x y = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是.

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14、 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} + {(\frac{1}{π})}^{- 1} + {(\frac{1}{4})}^{0} =$ .

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15、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) = 2 f (x + 1)$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时 $f (x) = 2^{x}$ ，若 $f (x) \leq \frac{\sqrt{2}}{8}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$ C、 $(3, \frac{7}{2}] \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{7}{2}] \cup (4, + \infty)$

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16、某催化剂的活性指标 $K$ （单位：kgPP/gCat）与反应温度 $t$ （单位： $° C$ ）满足函数关系： $K = e^{a t} + b$ （其中 $a 、 b$ 为常数， $e = 2.71828$ ···，是一个和 $π$ 类似的无理数）.若在 $20 ° C$ 时的活性指标为11kgPP/gCat，若在 $40 ° C$ 时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在 $50 ° C$ 的活性指标为（）

A、125kgPP/gCat B、225kgPP/gCat C、245kgPP/gCat D、250kgPP/gCat

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17、已知集合 $B = {x \in Z ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}, A = (- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $(- 1, 0]\cup[1, 3)$ D、 $(- 1, 0] \cup (1, 3)$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P C = P D$ ．

(1)、证明： $P A = P B$ ；

(2)、设 $A B = 6, B C = 4, P C = 5$ ．
（i）当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大时，求三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积；
（ii）求平面 $P A C$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值的最小值．

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19、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程

(2)、求过点 $M (- 2, 1)$ 的切线方程；

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20、如图，四面体 $A B C D$ 的各棱长均为2， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D A$ ， $B C$ 的中点，设 $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{c}$ ；则两条异面直线 $B E$ ， $D F$ 所成角的余弦值为．

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