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相关试卷

1、设 $x \in R$ ，则“ $1 < x < 2$ ”是“ $1 < x < 3$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、若集合 $M = {0, 2, 4}, N = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 ${- 1, 2, 3}$ C、 ${- 1, 0, 2, 4}$ D、 ${- 1, 0, 2, 3, 4}$

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3、已知结论：椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点 $P (x_{1}, y_{1})$ 处切线方程为 $\frac{x x_{1}}{a^{2}} + \frac{y y_{1}}{b^{2}} = 1$ .试用此结论解答下列问题.如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，原点为 $O$ ，椭圆的动弦AB过焦点 $F$ 且不垂直于坐标轴，弦 $A B$ 的中点为 $N$ ，椭圆 $C$ 在点A，B处的两切线的交点为 $M$ .

(1)、试判断：O，M，N三点是否共线若三点共线，请给出证明；若三点不共线，请说明理由；

(2)、求 $\frac{| A B | \cdot | F M |}{| F N |}$ 的最小值.

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4、设函数 $f (x) = e^{x} - a x + a (a \in R)$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最小值；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 图象与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}, 0), B (x_{2}, 0)$ 两点，求证： $x_{1} x_{2} < x_{1} + x_{2}$ .

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5、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $\cos < \vec{A A_{1}}, \vec{A B} > = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $cos< \vec{A A_{1}}, \vec{A D} > = \frac{1}{2}$ ，点 $M$ 为 $B D$ 中点．

(1)、证明： $B_{1} M / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $B - A A_{1} - D$ 的正弦值．

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6、记 $△ A B C$ 是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b^{2} = a c$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $B D \sin ∠ A B C = a \sin C$ .
（1）证明： $B D = b$ ；
（2）若 $A D = 2 D C$ ，求 $\cos ∠ A B C$ .

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $\vec{O P} + \vec{O B} = a_{3} \vec{O A} + a_{2022} \vec{O C}$ ，且 $P, A, B, C$ 四点共面（ $O$ 为该平面外一点），则 $S_{2024} =$ ．

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8、与圆柱底面成 $45^{°}$ 角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为.

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9、已知 $x \in [- π, π]$ ，函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x^{2} + 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 恰有2个极值点 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值小于 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$

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10、如图，若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $M$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的一个动点（含边界），点 $P$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - D D_{1} M$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ B、若 $P M = \sqrt{5}$ ，则点 $M$ 的轨迹是以 $\frac{1}{2}$ 为半径的半圆弧 C、若 $D_{1} M ⊥ D P$ ，则 $A_{1} M$ 的最大值为3 D、若 $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则过 $M, A_{1}, C$ 三点的平面截三棱锥 $A_{1} - A B_{1} D_{1}$ 的截面面积为 $\frac{4}{9} \sqrt{6}$

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{5} = 2$ 记 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n} - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $8$ 项和为（）

A、 $0$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $16$

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12、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x - 2 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是两平面 $x - y + 1 = 0$ 与 $y - z + 2 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、已知函数 $y = e^{x + 1}$ 和 $y = \ln x - 1$ 的图象与直线 $y = 2 - x$ 交点的横坐标分别为a、b，则 $a + b =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $Q$ 是边 $B C$ 上的动点．若 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = \sqrt{2}$ ，且 $P Q$ 与面 $A B C$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $9 π$

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15、“村超”是贵州榕江县乡村足球超级联赛的简称，是该县的一项传统乡村体育赛事，“村超”深受当地人民的喜爱，也在2023年开始火爆全网.某体育新闻网站派出含甲、乙在内的4名记者前去A，B，C三个足球场报道“村超”赛事，要求每个足球场至少1名记者，则甲、乙分在不同足球场的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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16、设 $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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17、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b，c，已知 $A = 2 B ， a = 3 ， b = 2$ ，则cosB=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，满足 $x_{1} x_{2} ＝ 4 y_{1} y_{2}$ ．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．

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19、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对于区间 $I = [a, b] (I \subseteq D)$ ，当且仅当函数 $y = f (x)$ 满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间 $I$ 是 $y = f (x)$ 的一个“美好区间”.
性质①：对于任意 $x_{0} \in I$ ，都有 $f (x_{0}) \in I$ ；
性质②：对于任意 $x_{0} \in I$ ，都有 $f (x_{0}) \notin I$ .

(1)、已知 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $x \in R$ .分别判断区间 $[0, 2]$ 和区间 $[1, 3]$ 是否为函数 $y = f (x)$ 的“美好区间”，并说明理由；

(2)、已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 12 (x \in R)$ 且 $m > 0$ ，若区间 $[0, m]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“美好区间”，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面ABC， $∠ A A_{1} C_{1} = 120 °$ ， $A C = C C_{1} = 4$ ， $\tan ∠ B A C = \frac{3}{2}$ ， $B A = B C$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D C}$ ， $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{E C_{1}}$ ．

(1)、求证：B，D，E， $B_{1}$ 四点共面；

(2)、求二面角 $A_{1} - B B_{1} - D$ 的余弦值．

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