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相关试卷

1、为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表（单位：人）：
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
19
5
24
男
6
10
16
合计
25
15
40

(1)、依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?

(2)、从身高不低于170cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望 $E (X)$ .
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2、在平面直角坐标系中，若定义两点 $A_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ 之间的“ $t$ 距离”为 ${|A_{1} A_{2}|}_{t} = \max \{\frac{|x_{1} - x_{2}|}{1 + |x_{1} - x_{2}|}, \frac{|y_{1} - y_{2}|}{1 + |y_{1} - y_{2}|}\}$ ，其中 $\max {p, q}$ 表示 $p, q$ 中的较大者，则点 $A_{1} (0, 0)$ 与点 $A_{2} (2, 3)$ 之间的“ $t$ 距离”为若平面内点 $A (x, y)$ 和点 $A_{0} (1, 1)$ 之间的“ $t$ 距离”为 $\frac{1}{2}$ ，则 $A$ 点的轨迹围成的封闭图形的面积为.

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3、已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = a b sin C$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3}, \sqrt{2})$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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5、设 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $l$ ： $2 x - a y + 2 b = 0 (a \neq 0)$ 与 $C$ 的准线 $l_{1}$ 交于点 $A$ .已知 $l$ 与 $C$ 相切，切点为 $B$ ，直线 $B F$ 与 $C$ 的一个交点为 $D$ ，则（）

A、点 $(a, b)$ 在 $C$ 上 B、 $∠ B A F < ∠ A F B$ C、直线 $A D$ 与 $C$ 相切 D、 $A F^{2} = B F \cdot D F$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，则（）

A、 $a = - 3$ 时，若 $f (x)$ 有3个零点，则实数 $b$ 的取值范围是 $(- 9, \frac{5}{3})$ B、 $a = b = 0$ 时，过 $(1, 0)$ 可作函数 $f (x)$ 的切线有两条 C、若直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 有3个不同的交点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ ，且 $| A B | = | A C |$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{0} + 3 = 0$

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7、甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记 $A_{1}$ 表示事件“从甲袋摸出的是红球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记 $B_{1}$ 表示事件“从乙袋摸出的是红球”， $B_{2}$ 表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（）

A、 $A_{1}, A_{2}$ 是互斥事件 B、 $A_{1}, B_{2}$ 是独立事件 C、 $P (B_{2} ∣ A_{2}) = \frac{7}{11}$ D、 $P (B_{2} |A_{1}) + P (B_{1} |A_{2}) = \frac{10}{11}$

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，定义集合 $M = \{x_{0} |x_{0} \in R, x \in (- \infty, x_{0}), f (x) < f (x_{0})\}$ ，在使得 $M = [- 1, 1]$ 的所有 $f (x)$ 中，下列成立的是（）

A、存在 $f (x)$ 是偶函数 B、存在 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取最大值 C、存在 $f (x)$ 是增函数 D、存在 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取到极小值

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9、已知等差数列{a_n}的前n项和S_n ，公差d≠0， $\frac{a_{1}}{d} \leq 1$ ．记b₁=S₂ ， b_n+₁=S_2n+₂–S₂_n ， $n \in N^{*}$ ，下列等式不可能成立的是（）

A、2a₄=a₂+a₆ B、2b₄=b₂+b₆ C、 $a_{4}^{2} = a_{2} a_{8}$ D、 $b_{4}^{2} = b_{2} b_{8}$

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10、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的一条直线与 $C$ 交于A，B两点，且 $A F_{1} ⊥ A B$ ， $|B F_{2}| = 2$ ，则椭圆长轴长的最小值是（）

A、12 B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、 $6 + 4 \sqrt{2}$

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11、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $52 \sqrt{3}$ ， $A B = 6 \sqrt{3}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq |f (\frac{π}{2})|$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{12})$ 上单调，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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13、若复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{z - i} = 1 + i, i$ 为虚数单位，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D // B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ . $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与面 $A E F$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $P B$ 上是否存在点 $G$ ，使得 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 四点共面，如果存在求出 $\frac{P G}{P B}$ 的值；如果不存在说明理由.

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15、已知 $f (x) = a^{x} - x^{a}$ （ $x \geq 0$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = e$ 时，求证： $f (x)$ 在 $(e, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、设 $a > e$ ，已知 $\forall x \in (\frac{e^{2}}{2} \ln a, + \infty)$ ，有不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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16、某校组织知识竞赛，有 $A, B$ 两类问题．若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分．已知李华同学能正确回答A类问题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，能正确回答B类问题的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；

(2)、若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：
方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．
方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．
为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？

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17、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2, ∠ A B C = 90 °, D$ 在 $B B_{1}$ 上，且 $B D = \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ A D$ ；

(2)、当四棱锥 $A - B C C_{1} D$ 的体积为 $\frac{5}{4}$ 时，求平面 $A C_{1} D$ 与平面 $A B C$ 所成二面角的正弦值．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = S_{n} + 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}^{2} - 11$ ，求数列 $\{|b_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19、对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则数列 $\{\frac{n}{(n + 4) a_{n}}\}$ 的前12项和 $S_{12} =$ .

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20、已知随机事件 $A ， B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{1}{4} ， P (B | A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A + B) =$ ．

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性别	身高		合计
	低于170cm	不低于170cm
女	19	5	24
男	6	10	16
合计	25	15	40

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828