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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x| x - 3 > 0\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 5 x + 4 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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2、甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为 $\frac{1}{6}$ ，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为 $\frac{1}{9}$ ，且任意两次射击互不影响．

(1)、分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；

(2)、求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；

(3)、若乙想击中目标的概率不低于 $\frac{99}{100}$ ，乙至少需要射击多少次？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (0 ， 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量等于.

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4、正整数集 $A = \{m + 1, m + 2, m + 3, \dots, m + 3 n\}$ ，其中 $m \in N, n \in N^{+}$ .将集合 $A$ 拆分成 $n$ 个三元子集，这 $n$ 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合 $A$ 是“三元可拆集”.

(1)、若 $m = 1, n = 3$ ，判断集合 $A$ 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；

(2)、若 $m = 0, n = 6$ ，证明：集合 $A$ 不是“三元可拆集”；

(3)、若 $n = 16$ ，是否存在 $m$ 使得集合 $A$ 是“三元可拆集”，若存在，请求出 $m$ 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.

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5、已知 $b > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} - x - (x - 1) ln (b x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线过点 $(0, - 1)$ .

(1)、求实数b的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若对 $\forall x \geq 1, f (x) \geq a (x - 1)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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6、已知 $P (x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $C : x^{3} + y^{3} = y - x$ 上的一点，则下列选项中正确的是（）

A、曲线 $C$ 的图象关于原点对称 B、对任意 $x_{0} \in R$ ，直线 $x = x_{0}$ 与曲线 $C$ 有唯一交点 $P$ C、对任意 $y_{0} \in [- 1, 1]$ ，恒有 $|x_{0}| < \frac{1}{2}$ D、曲线 $C$ 在 $- 1 \leq y \leq 1$ 的部分与 $y$ 轴围成图形的面积小于 $\frac{π}{4}$

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l : x = t y + 1$ ，若 $C$ 与 $l$ 交于 $A, B$ 两点， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $p = 2$ B、 $|A F| = 3$ C、 $t = 2 \sqrt{2}$ 或 $- 2 \sqrt{2}$ D、线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{5}{4}$

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8、已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} ω x - {(sin ω x - cos ω x)}^{2} (ω > 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 轴对称，且 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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9、已知集合 $A = {(x, y) | y = | x |}, B = \{(x, y) | y = \frac{1}{| x |}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${(- 1, 1), (1, 1)}$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5}{12} π$ 对称 C、函数 $f (x - \frac{2 π}{3})$ 是偶函数 D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 $y = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象

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11、从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、估计家庭消费总支出的第75百分位数．

(3)、从 $［ 60, 70 ）$ 和 $［ 80, 90 ）$ 两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率．

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12、判断下列各组直线是否平行，并说明理由．

(1)、 $l_{1}$ 经过点 $A (2, 3), B (- 4, 0)$ ， $l_{2}$ 经过点 $M (- 3, 1), N (- 2, 2)$ ；

(2)、 $l_{1}$ 的斜率为 $- 10$ ， $l_{2}$ 经过点 $A (10, 2), B (20, 3)$ .

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13、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、四面体 $B D C_{1} A_{1}$ 的体积是 $\frac{8}{3}$ C、点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、平面 $B D A_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 夹角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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14、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ”是“向量 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知矩形 $A B C D$ 的长为2，宽为1.（如图所示）

(1)、若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面 $C^{'} B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，分别求 $C^{'}$ 到AB和AD的距离.

(2)、在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 $△ A M N$ 翻折成 $△ A^{'} M N$ ，使平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $A B C D$ .又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形 $G H C B$ 向上翻折，使C与 $A^{'}$ 重合，求线段NG的长.

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16、若函数 $f (x)$ 满足：对任意正数 $s, t$ ，都有 $f (s) + f (t) < f (s + t)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“H函数”．

(1)、试判断函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ 与 $f_{2} (x) = ln (x + 1)$ 是否为“H函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $y = 3^{x} + x - 3 a$ 是“H函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 为“H函数”， $f (1) = 1$ ，对任意正数s、t，都有 $f (s) > 0$ ， $f (t) > 0$ ，证明：对任意 $x \in (2^{k}, 2^{k + 1}) (k \in N)$ ，都有 $f (x) - f (\frac{1}{x}) > \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$ ．

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17、象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏.某地举办象棋比赛，规定：每一局比赛中胜方得1分，负方得0分，没有平局.

(1)、若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是 $\frac{3}{5}$ ，乙获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，先得3分者夺冠，比赛结束.
(i)求比赛结束时，恰好进行了3局的概率；
(ii)若前两局甲、乙各胜一局，记 $X$ 表示到比赛结束还需要进行的局数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、统计发现，本赛季参赛选手总得分 $Y$ 近似地服从正态分布 $N (12.16, 9)$ .若 $μ - σ \leq Y \leq μ + 2 σ$ ，则参赛选手可获得“参赛纪念证书”；若 $Y > μ +$ $2 σ$ ，则参赛选手可获得“优秀参赛选手证书”.若共有200名选手参加本次比赛，试估计获得“参赛纪念证书”的选手人数.(结果保留整数)
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n} = n \cdot 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、对任意 $m \in N^{*}$ ．将数列 $\{a_{n}\}$ 中落入区间 $(2^{m}, 2^{2 m})$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 $\{b_{m}\}$ 的前m项和 $T_{m}$ ．

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19、已知函数 $f (x) = 2 (x - 1) e^{x}$ .
（1）若函数 $f (x)$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增，求 $f (a)$ 的取值范围；
（2）设函数 $g (x) = e^{x} - x + p$ ，若存在 $x_{0} \in [1, e]$ ，使不等式 $g (x_{0}) \geq f (x_{0}) - x_{0}$ 成立，求实数 $p$ 的取值范围.

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20、如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\overset{⃑}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{D F} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{F C}$ ，若 $\overset{⃑}{A F} = λ \overset{⃑}{A C} + μ \overset{⃑}{D E}$ ，则 $λ - μ$ 的值为．

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