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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在直线 $y = 3 x + 1$ 上.

(1)、设 $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{2}$ ，证明 $\{b_{n}\}$ 为等比数列：

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{2}$ .

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B_{1} C$ 为正三角形，四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 为菱形.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若 $A C = B C = 4$ ，且 $A C ⊥ B C, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求平面 $A B_{1} E$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\frac{1 + tan A}{1 - tan A} = 2 + \sqrt{3}$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $c = 3$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = |x - \frac{a}{x}| (x > 0)$ .若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = 2$ 交于 $A, B$ 两点，设 $A, B$ 的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，写出 $x_{1}, x_{2}$ 与 $a$ 的一个关系式：；分别过点 $A, B$ 作 $x$ 轴的垂线段 $A A_{1}, B B_{1}$ ，垂足分别为 $A_{1}, B_{1}$ ，则四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 的面积为.

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，若双曲线的左支上一点 $P$ 满足 $\frac{sin ∠ P F_{1} F_{2}}{sin ∠ P F_{2} F_{1}} = 3$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与 $F_{1} P$ 的延长线相切于点 $M$ ，且 $\vec{F_{1} M} = 3 \vec{F_{1} P}$ ，则双曲线的离心率为.

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6、甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为 $90 %$ ，乙加工的正品率为 $80 %$ ，丙加工的正品率为 $85 %$ ，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的 $40 %$ .现任取一个零件，则它是正品的概率为.

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7、下列关于函数 $f (x) = x - x ln x$ 的说法，正确的有（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $\dot{f} (x)$ 有两个零点 C、若方程 $f (x) = m$ 有两根 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > e$ D、若方程 $f (x) = m$ 有两根 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} < e$

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8、下列函数中，对称中心为 $(1, 0)$ 的有（）

A、 $y = sinπ x$ B、 $y = cos (x - 1)$ C、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ D、 $y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$

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9、某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下：
成绩
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
频数
5
25
30
20
10
10
根据表中数据，下列结论正确的是（）

A、100名学生成绩的极差为60分 B、100名学生成绩的中位数大于70分 C、100名学生成绩的平均数大于60分 D、100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过 $80 %$

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10、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, (\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、1

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11、设 $z = \frac{2}{i - 1}$ ，则z的共轭复数为（）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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12、已知直线l过点 $(- 3, 4)$ 且方向向量为 $(1, - 2)$ ，则l在x轴上的截距为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 5$ D、5

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13、甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每盘获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ .在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为.

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14、已知集合 $A = \{0, 2, 4, 6\}, B = \{x ∣ 0 < 3^{x} \leq 81\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2, 4\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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15、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点 $F (1, 0)$ ， $|A_{2} F| = 1$ ．

(1)、求椭圆方程及其离心率；

(2)、已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若 $△ A_{1} P Q$ 的面积是 $△ A_{2} F P$ 面积的 $2$ 倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

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16、半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B F ⊥$ 平面EAB B、该二十四等边体的体积为 $\frac{20}{3}$ C、该二十四等边体外接球的表面积为 $6 π$ D、PN与平面EBFN所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、已知曲线 $f (x) = a x^{2} + ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $(\frac{1}{3}, 0)$ ，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ . $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 、 $B$ 的圆 $G$ 交直线 $x = 1$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，直线 $A M$ 、 $A N$ 分别交椭圆 $E$ 于 $P$ 、 $Q$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、证明：直线 $P Q$ 过定点，并求该定点坐标.

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19、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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20、2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 $m$ 人，这 $m$ 人按年龄分成5组，其中第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人的第60百分位数（精确到0.1）；

(2)、现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．
①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，估计这 $m$ 人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差．

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成绩	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	5	25	30	20	10	10