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相关试卷

1、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点 $F (1, 0)$ ， $|A_{2} F| = 1$ ．

(1)、求椭圆方程及其离心率；

(2)、已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若 $△ A_{1} P Q$ 的面积是 $△ A_{2} F P$ 面积的 $2$ 倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

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2、半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B F ⊥$ 平面EAB B、该二十四等边体的体积为 $\frac{20}{3}$ C、该二十四等边体外接球的表面积为 $6 π$ D、PN与平面EBFN所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知曲线 $f (x) = a x^{2} + ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $(\frac{1}{3}, 0)$ ，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ . $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 、 $B$ 的圆 $G$ 交直线 $x = 1$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，直线 $A M$ 、 $A N$ 分别交椭圆 $E$ 于 $P$ 、 $Q$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、证明：直线 $P Q$ 过定点，并求该定点坐标.

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5、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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6、2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 $m$ 人，这 $m$ 人按年龄分成5组，其中第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人的第60百分位数（精确到0.1）；

(2)、现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．
①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，估计这 $m$ 人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差．

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7、某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照 $[30, 50)$ ， $[50, 70)$ ， $[70, 90)$ ， $[90, 110)$ ， $[110, 130)$ ， $[130, 150]$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

请完成以下问题：

(1)、估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率.

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8、在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)、若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；

(2)、求 $a$ 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；

(3)、由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙复赛获优秀等级的概率为 $\frac{3}{4}$ ，丙复赛获优秀等级的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是正方形， $P D = D C$ ， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是线段 $P C$ 的中点， $F$ 在线段 $P B$ 上， $E F ⊥ P B$ ．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、 $G$ 在线段 $P B$ 上， $E G$ 与 $P A$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $D E G$ 夹角的余弦值．

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10、已知 $△ A B C$ 内角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别是 $a ､ b ､ c, A = 2 B$ ，则（）

A、 $a^{2} = b (b + c)$ B、 $\frac{b}{c} + \frac{a^{2}}{b^{2}}$ 的最小值为3 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{c}{b} \in (1, 2)$ D、若 $a = 2 \sqrt{6}, b = 3$ ，则 $c = 3$

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11、给出下列命题，其中正确的是（）

A、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底 B、在空间直角坐标系中，点 $P (- 1, 4, 3)$ 关于坐标平面 $y O z$ 的对称点是 $(- 1, - 4, - 3)$ C、点P为平面ABC上一点，O为平面ABC外一点，且 $\vec{O P} = \frac{7}{6} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R)$ ，则 $x + y = - \frac{1}{6}$ D、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$ ，则 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 为锐角

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12、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (b + a + c, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} c, b − a + c)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a =3$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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13、如图，正三棱锥 $V - A B C$ 中， $A B = B C = A C = 2, V A = V B = V C = \sqrt{2}$ ，点 $M, N$ 分别为 $V A, B C$ 的中点，一只蚂蚁从点 $M$ 出发，沿三棱锥侧面爬行到点 $N$ ，求：

(1)、该三棱锥的体积与表面积；

(2)、蚂蚁爬行的最短路线长.

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14、已知复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $|z_{2}| = 1$ ，则 $|z_{1} - 2 z_{2}|$ 的最大值为.

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15、已知 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3, \vec{e}$ 是 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量，且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \vec{e}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ =$ .

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + 1, x \leq 0, \\ |\log_{2} x| - 1, x > 0, \end{array}$ 则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ C、方程 $f (x) = f (f (\frac{1}{8}))$ 有两个不等的实数根 D、不等式 $f (f (x)) < 0$ 解集为 $(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{2}}{4}) \cup (2 \sqrt{2}, 8)$

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17、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ)$ ，则下列命题正确的有（）

A、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 C、 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 3$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为3

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是线段 $B C$ 上的一点，且 $\vec{B C} = 4 \vec{B D}$ ，过点 $D$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C}$ $(λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ - \frac{1}{μ}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、 $2 \sqrt{3} + 4$ C、 $2 \sqrt{3} - 4$ D、 $2 \sqrt{3} + 2$

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19、 $a > - 3$ 是函数 $f (x) = x^{2} + a x + 4$ 在 $x \in [1, 3]$ 上恒大于0的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $Δ O A B$ 的直观图， $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = 2$ ， $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = 45^{\circ}$ ，则 $△ O A B$ 的面积是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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