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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 1\}, B = \{- 3, - 1, 0, 2, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{- 3, - 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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2、圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为．

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3、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{2}) - cos (\frac{3 π}{2} + x),$ 则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到 B、 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、若 $α \in (- \frac{π}{2}, 0), f (α) = 5 cos 2 α$ ，则 $cos 2 α = \frac{7}{25}$

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4、现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一：投资股市：
投资结果
获利 $40 %$
不赔不赚
亏损 $20 %$
概率
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{3}{8}$
方案二：购买基金：
投资结果
获利 $20 %$
不赔不赚
亏损 $10 %$
概率
$p$
$\frac{1}{3}$
$q$

(1)、当 $p = \frac{1}{4}$ 时，求 $q$ 的值；

(2)、若要将 $10$ 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知 $p = \frac{1}{2}$ ， $q = \frac{1}{6}$ ，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．

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5、多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分．

(1)、考生甲有一道答案为 $A B D$ 的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率；

(2)、现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为 $\frac{1}{3}$ ，得3分的概率为 $\frac{1}{2}$ ；每道题考生丙得6分的概率为 $\frac{1}{4}$ ，得3分的概率为 $\frac{1}{2}$ ．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率．

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6、若圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 m x - 2 y = 0$ 被直线 $2 x + y + 1 = 0$ 平分，则圆C的半径为．

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7、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，且 $A A_{1} = A B = 2$ ， M为AD的中点，动点P满足 $\vec{B P} = x \vec{B B_{1}} + y \vec{B D}$ ，且 $x, y \in [0, 1]$ .

(1)、若 $x + y = \frac{1}{2}$ 时，求证： $A P ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、若 $x = y$ ， E为 $A_{1} M$ 上一动点，且 $E P //$ 平面ABCD，求EP的最小值；

(3)、若 $y = 2 x (x \neq 0)$ ，点O为三棱锥 $P - M B D$ 外接球的球心，求OP的取值范围.

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8、过点 $P (1, m) (m \in R)$ 有n条直线与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图像相切.

(1)、若 $m = e$ ，求n的值并求切线的方程；

(2)、当n取最大值时，求m的取值范围.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的各项均不为零，若 $\{b_{n}\}$ 是单调递增数列，且 $2 a_{n} = b_{n} \cdot b_{n + 1}$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = b_{n + 1}^{2}$ ， $a_{1} = b_{2}$ ， $a_{2} = b_{6}$ .

(1)、求 $b_{1}$ 及数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = | 9 - b_{n} |$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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10、已知圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，点 $P (1, 4)$ ，且直线l经过点P.

(1)、若l与C相切，求l的方程；

(2)、若l的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求l被圆C截得的弦长.

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C右支上一点，线段 $P F_{1}$ 与C的左支交于点M.若 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，且 $\tan ∠ F_{1} M F_{2} = - \frac{3}{4}$ ，则C的离心率为.

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12、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ， $9 S_{4} = 10 S_{2}$ ， $a_{2} + a_{4} =$ .

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13、函数 $f (x) = 2 \cos (- 2 x + \frac{π}{6})$ ，其导函数为函数 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ ．

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14、设函数 $f (x) = (x + a) \ln (x + b)$ ，则下面说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ ， $b = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在定义域上仅有一个零点 B、当 $a = 0$ ， $b = 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增 C、若函数 $f (x)$ 存在极值点，则 $b < a < b + \frac{1}{e^{2}}$ 或 $a \leq b$ D、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$

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15、各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，若 $a_{1} > 1$ ，公比 $q \neq 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $T_{6} = T_{10}$ ，则必有 $T_{16} = 1$ B、若 $T_{7} > T_{8}$ ，则必有 $T_{6} > T_{7}$ C、若 $T_{6} = T_{10}$ ，则必有 $T_{n} \leq T_{8}$ D、若 $T_{7} > T_{8}$ ，则必有 $T_{8} > T_{9}$

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $P A = P D = A B$ ， E为线段PB的中点，若面 $A E C ⊥$ 面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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17、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，设 $g (x) = e^{- x} \cdot f (x)$ ，若函数 $g (x)$ 的导函数 $g^{'} (x)$ 的图像如图所示，则（）

A、 $a < b$ ， $b < c$ B、 $a > b$ ， $b > c$ C、 $\frac{b}{a} > 1$ ， $b = c$ D、 $\frac{b}{a} < 1$ ， $b = c$

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18、我们把由0和1组成的数列称为 $0 - 1$ 数列， $0 - 1$ 数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列 $\{F_{n}\}$ （ $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n + 2} = F_{n} + F_{n + 1}$ ）中的奇数换成0，偶数换成1可得到 $0 - 1$ 数列 $\{a_{n}\}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{k} = 10$ ，则k的值可能是（）

A、35 B、32 C、29 D、26

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19、若方程 $\frac{x^{2}}{2 + m} + \frac{y^{2}}{5 - 2 m} = 1$ 表示椭圆，则m的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < \frac{5}{2}$ B、 $m > 1$ C、 $- 2 < m < 1$ 或 $1 < m < \frac{5}{2}$ D、 $- 2 < m < 1$

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20、已知 $⊙ C : x^{2} + y^{2} + 2 x - \sqrt{2} y + \frac{1}{2} = 0$ ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， 1 B、 $(- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， 1 C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $(- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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投资结果	获利 $40 %$	不赔不赚	亏损 $20 %$
概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

投资结果	获利 $20 %$	不赔不赚	亏损 $10 %$
概率	$p$	$\frac{1}{3}$	$q$