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相关试卷

1、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 焦点的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b cos C = a c - 2 c cos B$ .

(1)、求 $c$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 中点， $C D = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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3、已知三次函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = - \frac{1}{3}$ 处取到极值 $\frac{32}{27}$ ．

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、若函数 $h (x) = 2 x^{2} + 8 x + n$ 与 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上有两个交点，求实数 $n$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $m > - \frac{4}{3}$ 时，函数 $f (x)$ 的图象上存在两条与直线 $x + m y = 0$ 垂直的切线．

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4、已知边长为4的菱形 $A B C D$ （如图1）， $∠ B A D = \frac{π}{3}, A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O, E$ 为线段 $A O$ 上一点，将三角形 $A B D$ 沿 $B D$ 折叠成三棱锥 $A - B C D$ （如图2）．

(1)、证明： $B D ⊥ C E$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的体积为8，二面角 $B - C E - O$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求 $O E$ 的长．

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q \in (0, 1)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{3} + a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} + \frac{1}{16}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0, b_{n + 1} - b_{n} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．求 $T_{n}$ ．

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \sin A = a \cos \frac{A + C}{2}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{5}, \vec{B A} \cdot \vec{C B} = 3$ ， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线，求 $B D$ 的长．

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \sin (x + \frac{π}{6})$ ，则当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时 $f (x)$ 的最大值为．

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8、已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为 $r_{2}$ 和 $r_{1}$ ，母线长分别为 $2 (r_{1} - r_{2})$ 和 $3 (r_{1} - r_{2})$ ，则两个圆的体积之比 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}} =$ ．

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9、数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点 $A (x, y)$ 与点 $B (a, b)$ 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 5} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ ，下列结论正确的是（）

A、方程 $f (x) = 5$ 无解 B、方程 $f (x) = 6$ 有两个解 C、 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $6 \sqrt{5}$

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{1} = - 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} > 0$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{n + 1} > a_{n}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{q - 1}$

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11、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是棱 $D D_{1}$ 上的动点（不含端点），则（）

A、过点M有且仅有一条直线与AB， $B_{1} C_{1}$ 都垂直 B、有且仅有一个点M到AB， $B_{1} C_{1}$ 的距离相等 C、过点M有且仅有一条直线与 $A C_{1}$ ， $B B_{1}$ 都相交 D、有且仅有一个点M满足平面 $M A C_{1} ⊥$ 平面 $M B B_{1}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x \geq 0 \\ x + 2, x < 0 \end{array}$ ，若 $a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $b - a$ 的取值范围是（）

A、 $(\ln 2, 1]$ B、 $(\ln 2, 1)$ C、 $(\frac{1}{2} \ln 2, 1]$ D、 $[1, 2)$

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13、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ，则四棱锥 $A - B B_{1} D_{1} D$ 的体积是（）

A、6 B、9 C、18 D、27

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14、在 $△ A B C$ 中，“ $\sin A > \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“ $A > \frac{π}{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若向量 $\vec{c} = \vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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16、设复数z满足 ${(1 + i)}^{2} z = 5 - 2 i$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、设集合 $A = \{x \in N^{*} |2^{x} < 4\}, B = \{x \in N |- 1 < x < 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ B、 $\{x |x < 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, M, N$ 分别是棱 $A B, C C_{1}$ 的中点，则点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{174}}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 $(1 - α) {(1 - β)}^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 $β {(1 - β)}^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β {(1 - β)}^{2} + {(1 - β)}^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{3} (1 - a_{n}) (n \in N^{*})$ ．若 $2 + b_{n} = 3 \log_{\frac{1}{4}} a_{n}$ ，且数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、求证：数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{2}{3}$ ；

(3)、若 $c_{n} \leq \frac{1}{4} (t^{2} + t - 1)$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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