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相关试卷

1、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 恒过定点 $(2, 4)$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为.

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2、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ)$ （ $0 < ω \leq 2$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{5 π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{8}, \frac{7 π}{8}]$ 上单调递增 D、若方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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3、已知函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，其零点所在的区间为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(3, 5)$ D、 $(5, 6)$

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4、关于函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、方程 $f (x) = 4$ 无实数根 B、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的最小值为4 C、 $f (x)$ 是定义域内的偶函数 D、 $f (x)$ 是定义域内的奇函数

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5、下列运算正确的是（）

A、 $\lg 2 + \lg 5 = 1$ B、 $\log_{2} \frac{1}{2} = - 1$ C、 $2^{\log_{2} 3} = 2$ D、 $2^{5} - 2^{3} = 2^{2}$

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6、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (x) - g (2 - x) = 4$ ， $g (x) + f (2 + x) = 2$ ，且 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (1) = 5$ ，则 $g (1) + g (2) + g (3) + \cdot \cdot \cdot + g (23)$ 的值为（）

A、 $- 20$ B、 $- 21$ C、 $- 22$ D、 $- 23$

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7、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = |{log}_{2} (x + 1)|$ B、 $f (x) = {log}_{2} (x + 1)$ C、 $f (x) = |2^{x} - 1|$ D、 $f (x) = 2^{x} - 1$

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8、关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根的充要条件是（）

A、 $a > 2$ 或 $a < - 2$ B、 $a \geq 2$ 或 $a \leq - 2$ C、 $a < 1$ D、 $a > 2$

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9、已知命题 $P : \exists x_{0} > 1, x_{0}^{2} - 1 > 0$ ，那么 ${}_{\neg}P$ 是（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 > 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 1$ ， $x_{0}^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} < 1$ ， $x_{0}^{2} - 1 \leq 0$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $x$ 轴的正半轴为始边，终边经过点 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\sin α$ 的值是（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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11、下列命题中真命题是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} < \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b$ ，则 $a - b < 0$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$

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12、已知集合 $M = \{1, 2\}$ ，集合 $N = \{1, 2, 3\}$ ，下列表述正确的是（）

A、 $N \in M$ B、 $M \in N$ C、 $M \subseteq N$ D、 $N \subseteq M$

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13、由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆 $C_{1}$ 的“特征三角形”为 $△_{1}$ ，椭圆 $C_{2}$ 的“特征三角形”为 $△_{2}$ ，若 $△_{1} \sim △_{2}$ ，则称椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ “相似”，并将 $△_{1}$ 与 $△_{2}$ 的相似比称为椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的相似比.已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相似.

(1)、求椭圆 $C_{2}$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 的相似比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设 $P$ 为 $C_{2}$ 上异于其左､右顶点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的一点.过 $P$ 分别作椭圆 $C_{1}$ 的两条切线 $P B_{1}$ ， $P B_{2}$ ，切点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，设直线 $P B_{1}$ ， $P B_{2}$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

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14、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， △ $B_{1} B A$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形， $A C = \sqrt{6}$ ， $B_{1} C$ 与平面 $A B C$ 所成角为45°．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若点 $E$ 为 $B C$ 中点，点 $P$ 为棱 $C C_{1}$ 上一点，且满足 $λ = \frac{C P}{C C_{1}}$ ，是否存在 $λ$ 使得平面 $A B P$ 与平面 $A E B_{1}$ 夹角余弦为 $\frac{\sqrt{6}}{10}$ ，若存在求出 $λ$ 值，存不存在请说明理由．

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $C$ 的右顶点为 $P$ ，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ ，求 $|A B|$ .

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16、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B E$ 的距离.

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17、已知圆 $C$ 的圆心为直线 $x + y - 2 = 0$ 与直线 $3 x - y - 6 = 0$ 的交点，且圆 $C$ 过点A $(3, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为圆 $C$ 上任意一点， $M (8, 0)$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P M} = 2 \vec{Q M}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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18、已知正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的底面边长为 $2 \sqrt{3}$ ，高为2，点 $P$ 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是 $M N$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是.

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19、已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且弦 $A B$ 的中点为 $M (3, \frac{3}{2})$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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20、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ ，并且焦距为6，则实数 $m$ 的值为.

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