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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和最值；

(2)、若 $a \leq 0$ ，且一次函数 $y = g (x)$ 的图象和曲线 $y = f (x)$ 相切于 $x = - 1$ 处，求函数 $g (x)$ 的解析式并证明： $g (x) \leq f (x)$ 恒成立．

(3)、若 $a = 1$ ，且函数 $h (x) = f (x) - t (x^{2} - x)$ 在 $x \in (\frac{1}{2}, 2)$ 上有两个极值点，求实数 $t$ 的取值范围．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，侧面 $P A D$ 是正三角形， $M$ 是棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥ D M$ ；

(2)、若二面角 $P - A D - B$ 为 $60^{\circ}$ ，求直线 $D M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与过点 $A (\frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$ ， $B (0, - \sqrt{10})$ 的直线有且只有一个公共点 $T$ ，且双曲线 $C$ 的离心率 $e = \sqrt{6}$ ．

(1)、求直线 $A B$ 和双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C$ 的左、右焦点， $M$ 为线段 $A F_{2}$ 的中点，求证： $∠ M T F_{2} = ∠ T F_{1} A$ ．

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c^{2} = a^{2} + b^{2} + a b$ ， $sin (C - B) = cos A$ ．

(1)、求角 $C$ 和角 $B$ ．

(2)、若边 $B C$ 上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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5、已知曲线 $y = e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 恰好与曲线 $y = a + ln x$ 相切，则实数 $a$ 的值为．

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6、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1}$ ，点 $M$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（不含端点），则（）

A、过点 $M$ 有且仅有一条直线与直线 $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 都垂直 B、过点 $M$ 有且仅有一条直线与直线 $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 都相交 C、有且仅有一个点 $M$ 满足 $△ M A C$ 和 $△ M B_{1} D_{1}$ 的面积相等 D、有且仅有一个点 $M$ 满足平面 $M A C ⊥$ 平面 $M B_{1} D_{1}$

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7、随机变量 $X$ ， $Y$ 分别服从正态分布和二项分布，且 $X \sim N (2, 1)$ ， $Y \sim B (4, 0.5)$ ，则（）

A、 $P (X \leq 0) = P (X \geq 4)$ B、 $P (Y \leq 0) = P (Y \geq 4)$ C、 $E (X) = E (Y)$ D、 $P (X \leq 2) = P (Y \leq 2)$

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 或 $x$ 是无理数时， $f (x) = 0$ ；当 $x = \frac{n}{m}$ （ $n < m$ ， $m$ ， $n$ 是互质的正整数）时， $f (x) = \frac{1}{m}$ ．那么当 $a$ ， $b$ ， $a + b$ ， $a b$ 都属于 $[0, 1]$ 时，下列选项恒成立的是（）

A、 $f (a + b) \leq f (a) + f (b)$ B、 $f (a + b) \geq f (a) \cdot f (b)$ C、 $f (a b) \geq f (a) + f (b)$ D、 $f (a b) \geq f (a) \cdot f (b)$

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9、函数 $f (x) = sin x - cos x cos (\frac{5 x}{2} + \frac{π}{4})$ 在区间 $(- π, 2 π)$ 上的所有零点之和为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、4

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10、已知底面半径为2的圆锥 $S O$ ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥 $S O$ 侧面积的比值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、480 B、240 C、120 D、15

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12、若过点 $(2 \sqrt{5}, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的两条直线的夹角为 $α$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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13、已知 $z = - 1 - i$ ，则 $z (1 - i) =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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14、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 4 x - 5 < 0\}$ ，集合 $B = \{- 2, 0, 2, 4, 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 2, 4\}$ B、 $\{- 2, 10\}$ C、 $\{0, 2, 4\}$ D、 $\{2, 4\}$

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15、一般地，任何一个复数 $a + b i$ （a， $b \in R$ ）可以写成 $r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中r是复数的模， $θ$ 是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在 $0 \leq θ < 2 π$ 范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如 $\arg 1 = 0$ ， $\arg i = \frac{π}{2}$ ， $\arg (1 + \sqrt{3} i) = \frac{π}{3}$ .发现 $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} (\cos θ_{1} + isin θ_{1}) \cdot r_{2} (\cos θ_{2} + isin θ_{2}) = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + isin (θ_{1} + θ_{2})]$ ，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1， $\sqrt{3}$ 的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为 $z_{n}$ .

(1)、写出一次操作后所有可能的复数；

(2)、当 $n = 2$ ，记 $|z_{n}|$ 的取值为X，求X的分布列；

(3)、求 $z_{n}^{2}$ 为实数的概率 $Q_{n}$ .

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的方程为： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (1, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.

(1)、求点T的轨迹W的方程；

(2)、已知点 $A (- 2, 0)$ ，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线 $x = 3$ 交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.

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17、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $C P = C A = C B$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $∠ A C B$ 为钝角，且二面角 $B - P A - C$ 的大小为 $45^{°}$ ，求 $\cos ∠ A C B$ .

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 \ln x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于直线 $2 x + y = 0$ ，求a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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19、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $a \cos C + a \sin C - b - c = 0$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值.

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20、一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是.

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