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相关试卷

1、设全集为 $R$ ，集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \geq 0\}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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2、已知实数集 $X = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ ，定义： $X \otimes X = \{x_{i} x_{j} |x_{i}, x_{j} \in X\}$ （ $x_{i}$ 与 $x_{j}$ 可以相同）．记 $|X|$ 为集合 $X$ 中的元素个数．

(1)、若 $X = \{1, 2, 3, 6\}$ ，请直接给出 $X \otimes X$ 和 $|X \otimes X|$ ；

(2)、若 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 均为正数，且 $|X \otimes X| = 300$ ，求 $|X|$ 的最小值；

(3)、若 $|X| = 11$ ，求证： $|X \otimes X| \geq 17$ ．

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3、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\forall k \in N^{*}$ 都有 $a_{2 k - 1}$ ， $a_{2 k}$ ， $a_{2 k + 1}$ 成等差数列，且公差为 $2 k$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、是否存在 $x$ ，使得 $\forall k \in N^{*}$ ， $a_{2 k} + x$ ， $a_{2 k + 1} + x$ ， $a_{2 k + 2} + x$ 成等比数列.若存在，求出 $x$ 的值；若不存在，说明理由.

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x (a \in R)$ 的一个极值点为 $x = 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若过点 $(3, m)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条不同的切线，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{sin A + sin B}{c} = \frac{sin B + sin C}{a - b}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}, \vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0$ ， $|\vec{A D}| = 2$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折成直二面角 $B^{'} - A D - C$ ，求直线 $A B^{'}$ 与平面 $B^{'} C D$ 所成角的正弦值.

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6、体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示.

(1)、求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数；

(2)、从所抽查的每天体育锻炼时间在 $[10, 20), [60, 70)$ 内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率.

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7、设 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，并且 $f (x) - g (x) = x^{2} - x$ ，则 $f (x)$ 的解析式是．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 a x + 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{matrix}$ 是R上的减函数，则a的取值范围为.

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9、已知点P是 $△ A B C$ 的中线BD上一点（不包含端点），且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x + 2 y = 1$ B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{9}$ C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是9

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10、一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件 $A = {2, 4, 6, 8}$ ，事件 $B = {5, 6, 7, 8}$ ，若事件 $C$ 满足 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ ， $P (B C) \neq P (B) P (C)$ ，则满足条件的事件 $C$ 的个数为（）

A、4 B、8 C、16 D、24

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11、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其图象关于点 $(2, 2)$ 成中心对称，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，则 $f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2023) =$ （）

A、2023 B、 $- 2023$ C、4048 D、 $- 4048$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2}$ ，（ $n \geq 3$ ），则 $S_{9} =$ （）

A、 $341$ B、 $340$ C、 $61$ D、 $60$

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13、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ， $g (x) = 2^{x} + a$ ，若 $\exists x_{1} \in [2, 3]$ ， $\forall x_{2} \in [2, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是( ).

A、 $(- \infty, - \frac{11}{3}]$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3}]$ D、 $(- \infty, - 4]$

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14、“ $x > 2$ ”是“ $2^{x} - \frac{4}{2^{x}} > 3$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知 $\cos θ = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (θ - \frac{π}{2}) \tan 2 θ =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{15}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{15}$ C、 $\frac{14 \sqrt{2}}{15}$ D、 $- \frac{14 \sqrt{2}}{15}$

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16、下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、设集合 $M = \{x | x^{2} - 2 x < 0\}, N = \{x | x \leq 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2)$

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18、每个正整数 $k$ 有唯一的“阶乘表示”为（ $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{m}$ ），这些 $a_{i}$ 满足 $k = 1! \cdot a_{1} + 2! \cdot a_{2} + \cdot \cdot \cdot + m! \cdot a_{m}$ ，其中每个 $a_{i} (i = 1, 2, 3 \cdot \cdot \cdot, m, m \in N^{*})$ 都是整数，且 $0 \leq a_{i} \leq i$ ， $a_{m} > 0$ .

(1)、求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；

(2)、若正整数 $k$ 对应的“阶乘表示”为（ $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{m}$ ），正整数 $k^{'}$ 对应的“阶乘表示”（ ${a^{'}}_{1}$ ， ${a^{'}}_{2}$ ， …， ${a^{'}}_{s}$ ） $(a_{1}^{'}, a_{2}^{'}, \dots, a_{s}^{'})$ ，其中 $m > s$ ，求证： $k > k^{'}$ ；

(3)、对正整数 $k$ ，记 $b_{n} = [\frac{k}{n!}] (n \leq m, n \in N^{*})$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，数列 $\{(n - 1) b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $k - S_{m} = 2024$ ，当 $k$ 最小时，求 $a_{m}$ 的值.

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19、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是.

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20、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离是4，直线 $l$ 过它的焦点 $F$ 且与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点， $M$ 为弦 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的焦点坐标是 $(2, 0)$ B、 $x_{1} x_{2} = 4$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 5$ ，则 $|A B| = 7$ D、若以 $M$ 为圆心的圆与 $C$ 的准线相切，则 $A B$ 是该圆的一条直径

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