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相关试卷

1、下列命题正确的有（）

A、 $\exists x \in Z$ ， $4 < 5 x < 5$ B、 $\exists x \in Z$ ， $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 7 = 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} + 3 x + 4 > 0$

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2、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} −(a +1) x + a <0$ 的解集中恰有1个整数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |−1< a ≤0$ 或 $2≤ a <3\}$ B、 $\{a |−2≤ a <−1$ 或 $3 < a ≤4\}$ C、 $\{a |−1≤ a <0$ 或 $2< a ≤3\}$ D、 $\{a |−2< a <−1$ 或 $3< a <4\}$

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3、某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买 $x$ 台机器人的总成本为 $P (x) = \frac{1}{600} x^{2} + x + 150$ （单位：万元）.若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（）

A、100台 B、200台 C、300台 D、400台

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4、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，集合 $A = \{0, 2, 4, 5\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4, 6\}$ ，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A、{2，4} B、{0，3，5，6} C、{0，2，3，4，5，6} D、{1，2，4}

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5、不等式 $\frac{2}{x + 1} \leq 1$ 的解集是（）

A、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ B、 $\{x |x \leq - 1$ 或 $x \geq 1\}$ C、 $\{x |x < - 1$ 或 $x > 1\}$ D、 $\{x |x < - 1$ 或 $x \geq 1\}$

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6、以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（）

A、锐角三角形有一个内角是钝角 B、至少有一个实数 $x$ ，使 $x^{2} = 0$ C、两个无理数的和必是无理数 D、存在一个负数 $x$ ，使 $\frac{1}{x} > 2$

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7、设集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ， $B = \{x | - x^{2} + 6 x - 8 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 2 \leq x < 3\}$ B、 $\{x | - 1 \leq x < 4\}$ C、 $\{x | 2 < x \leq 3\}$ D、 $\{x | - 1 < x \leq 4\}$

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8、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，记 $|P A| = x$ ， $|P B| = y$ ， $|P C| = z$ ．

(1)、若 $c sin C - a sin A = (c - b) sin B$ ，
①求 $A$ ；
②若 $b c = 2$ ，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值；

(2)、若 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$ ， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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9、如图所示，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均相等，点 $D$ 为 $B_{1} C$ 的中点，点 $E$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E //$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若棱长 $|A B| = a$ ，求此直三棱柱的体积；

(3)、若三棱锥 $B - C D E$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求该三棱柱的外接球表面积．

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10、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 3$ ， $A A_{1} > B C$ ，其外接球的表面积为 $29 π$ ，平面 $A_{1} C_{1} B$ 截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 $A B C D - A_{1} C_{1} D_{1}$ ，其体积为 $20$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} C_{1} B //$ 平面 $A C D_{1}$ ；

(2)、求棱 $A A_{1}$ 的长；

(3)、求几何体 $A B C D - A_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积．

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11、已知圆台的一个底面面积为 $π$ ，且有半径为 $\sqrt{2}$ 的内切球，则该圆台体积为．

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12、已知复数 $z$ 的实部为1，且 $|z| = 2$ ，若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ ， $p, q \in R$ 的根，则 $p + q =$ ．

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13、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为平面中的单位向量，满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{4}$ ，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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14、图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚 $A$ 处测得峰顶 $C$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，从 $A$ 出发选择地平面方向 $A D$ 使得 $∠ C A D = 60^{\circ}$ ，前进至点 $D$ 恰使 $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，测得前进距离 $|A D| = 150 m$ ．若峰顶 $C$ 在 $A D$ 所在地平面垂直投影点为 $H$ ，山坳处有一个憩息点 $B$ ，观测峰顶 $C$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ， $B$ 在地平面投影点 $T$ 落在 $A H$ 上， $A H = 5 T H$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|C H| = 150 m$ B、 $|B T| = 60 m$ C、从 $D$ 点观测峰顶 $C$ 的仰角为 $θ$ ，则 $tan θ = \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、从 $D$ 点观测点 $B$ 的仰角为 $φ$ ，则 $tan φ = \frac{2 \sqrt{33}}{33}$

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15、已知四棱锥 $P - A B C D$ 如图， $A B / / C D$ 且 $A B = 2 C D$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A P$ ， $A B$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、 $P C / /$ 平面 $D M N$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $D - A M N$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{9}{2}$ C、平面 $P C D$ 与平面 $P A B$ 的交线记为 $l_{1}$ ，则直线 $l_{1} / /$ 平面 $A B C D$ D、平面 $P D A$ 与平面 $P B C$ 的交线记为 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2} / /$ 平面 $D M N$

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16、设平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为非零向量，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$

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17、已知圆锥的轴截面顶角为 $θ$ ，侧面展开扇形的圆心角为 $2 π - θ$ ，则 $θ$ 为（）

A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不存在

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18、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ，球 $O$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的所有侧棱相切，并与底面 $A B C D$ 也相切，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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19、已知复数 $z = 1 + \sqrt{3} i$ ， $i$ 为虚数单位，则对于 $t \in R$ ， $|z + t \cdot \bar{z}|$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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20、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 的中点，对于 $B C$ 所在直线上的任意点 $P$ ，均有 ${|P A|}^{2} + {|P C|}^{2} \geq {|D A|}^{2} + {|D C|}^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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