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相关试卷

1、已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (2 m^{2} - 3 m - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ .

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围.

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2、在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 $△ A B C$ 中，AD为斜边BC上的高， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，现将 $△ A B D$ 沿AD翻折成 $△ A' B D$ ，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为.

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{7}$ ， $A C = 2$ ， M为BC的中点， $∠ M A C = 60 °$ ，则 $A M =$ .

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $t \in R$ ，则（）

A、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{9}{2}$ C、 $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ D、 $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 取得最小值时， $\vec{a} ⊥ (t \vec{a} + \vec{b})$

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5、下列有关复数的说法中（其中 $i$ 为虚数单位），正确的是（）

A、 $2 + i > 1 + i$ B、复数 $z = 3 - 2 i$ 的虚部为 $2 i$ C、复数z为实数的充要条件是 $z = \bar{z}$ D、已知复数z满足 $|z| = 2$ ，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆

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6、下列命题正确的是（）

A、梯形可确定一个平面 B、圆心和圆上两点可确定一个平面 C、若直线l与平面 $α$ 平行，则l与平面 $α$ 内的任意一条直线都没有公共点 D、若直线l与平面 $α$ 平行，则l与平面 $α$ 内的任意一条直线都平行

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7、中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为 $a, b, c$ 的三角形，其面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}$ 求得，其中 $p = \frac{1}{2} （ a + b + c)$ ，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足 $a + b = 14, c = 6$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、6 B、6 $\sqrt{10}$ C、12 D、12 $\sqrt{10}$

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8、中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 $M N$ ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $35 m$ ，在地面上点 $C$ 处（ $B, C, N$ 三点共线）测得建筑物顶部 $A$ ，鹳雀楼顶部 $M$ 的仰角分别为 $30^{°}$ 和 $45^{°}$ ，在 $A$ 处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15^{°}$ ，则鹳雀楼的高度约为（）

A、 $64 m$ B、 $70 m$ C、 $52 m$ D、 $91 m$

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9、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}, \vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{C D} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，若A，B，D三点共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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10、已知圆台的体积为 $152 π$ ，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（）

A、6 B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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11、已知平行四边形 $A B C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点（如图所示），设 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \vec{b}$ ，则 $\overset{⃑}{E F}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$

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12、已知 $z = - 1 - i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的正整数 $n$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $|a_{n + 1}| = |a_{n} + k|$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”.设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“2阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 2$ ，证明： $S_{n} \leq n^{2} + n$ ，且等号在 $a_{n} = 2 n (n \geq 1)$ 时取到.

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“16阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 8, S_{2024} = - 16192$ ，求 $a_{2024}$ 的所有可能取值.

(3)、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”，且满足 $a_{1} = \sqrt{2 k}$ .证明：对于任意的 $n > 1$ ，均有 $a_{n} > \sqrt{2 n k}$ .

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14、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，且过点 $(2, - 3), F$ 为其右焦点．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程．

(2)、直线 $l$ 经过点 $A (5, 0)$ ，倾斜角为 $45^{\circ}$ ，与 $E$ 交于 $C, D$ 两点（ $C$ 点在 $A, D$ 两点之间），若 $\vec{A C} = λ \vec{A D}, λ \in R$ ，求 $λ$ 的值．

(3)、已知点 $T (- 1, 0)$ ，过点 $F$ 作直线 $m$ 与 $E$ 交于 $M, N$ 两点，记直线 $T M, T N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，试问： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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15、已知函数 $f (x) = ln x - x + a$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，证明：当 $x \geq 1$ 时， $f (x) + x \leq (x - 1) e^{x - a} + 1$ ．

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16、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A B$ $∥$ $C D, A B = A D = P D = 2, C D = 4, E$ 为 $P C$ 边上一点，且 $E C = 2 P E$ ．

(1)、证明： $P A$ $∥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值．

(3)、求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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17、近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中 $x$ 为年份代号， $y$ （单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
新增新能源汽车 $y /$ 万辆
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8

(1)、计算样本相关系数 $r$ ，判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，当 $|r| \in [0.75, 1]$ 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据： $\sqrt{43.6} \approx 6.603$ .参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x, r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} = 3 b c sin A$ ，则 $\frac{{(b + c)}^{2}}{b c}$ 的取值范围为.

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19、已知集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ，若集合 $M$ 满足 $A$ ⫋ $M \subseteq B$ ，则这样的集合 $M$ 共有个.

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若 $\forall x \in R, y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x y) - f (x) f (y)$ ，且 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) + f (- 1) = 0$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4	5
新增新能源汽车 $y /$ 万辆	1.2	1.8	2.5	3.2	3.8