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相关试卷

1、若 $\vec{a} = (λ, 4)$ ， $\vec{b} = (3, 5)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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2、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长相等，且六个顶点都在球 $O$ 的球面上，记正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，球 $O$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ （）

A、 $\frac{14 \sqrt{7} π}{27}$ B、 $\frac{7 \sqrt{7} π}{54}$ C、 $\frac{7 \sqrt{7} π}{18}$ D、 $\frac{14 \sqrt{7} π}{9}$

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3、如图，在海面上有两个观测点 $B$ ， $D$ ，点 $B$ 在 $D$ 的正北方向，距离为 $3 km$ ，在某天10：00观察到某商船在 $C$ 处，此时测得 $∠ C B D = 45^{\circ}$ ， 5分钟后该船行驶至 $A$ 处，此时测得 $∠ A B C = 30^{\circ}$ ， $∠ A D B = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 30^{\circ}$ ，则该船行驶的距离 $A C =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} km$ B、 $3 \sqrt{2} km$ C、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2} km$ D、 $3 \sqrt{6} km$

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4、在 $△ A B C$ 中，下列命题不正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 一定为等腰三角形 C、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解

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5、已知 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{A B} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{C B} = k \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ，若 $A, B, D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 12$ C、4 D、5

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6、下列结论正确的是（）

A、两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. B、两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. C、如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. D、若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.

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7、在复平面内， $(1 - i) (4 + 3 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}, g (x) = a ln x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 有且只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点，动点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、是否存在点 $P$ ，使得 $A M ⊥ P N$ ？若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $λ$ 取何值时，直线 $P N$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

(3)、求动点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离的取值范围.

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10、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 a c sin B$ ，求：

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $B C$ 边中线 $A D$ 长的最小值.

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11、2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间 $x$ （单位： $s$ ）与位移 $y$ （单位： $m$ ）之间的关系，得到如下表数据：
$x$
2.8
2.9
3
3.1
3.2
$y$
24
25
29
32
34
画出散点图观察可得 $x$ 与 $y$ 之间近似为线性相关关系.

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、记 ${\hat{e}}_{i} = y_{i} - {\hat{y}}_{i} = y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a}$ ，其中 $y_{i}$ 为观测值， ${\hat{y}}_{i}$ 为预测值， ${\hat{e}}_{i}$ 为对应 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差，求前3项残差的和.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 45.1, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 434.7$ ，参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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12、若不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 $\{x | \frac{1}{2} < x < 2\}$ ，
（1）求a的值；
（2）求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集；
（3）求不等式 $\frac{a x + 1}{x + 2} \leq 0$ 的解集.

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13、不等式 $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ 的解集为.

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14、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为.

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15、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x - {cos}^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 上单调递增

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点， $B$ 为双曲线的右顶点，且 $△ B P Q$ 为正三角形．设点 $M$ 为抛物线上的动点，点 $M$ 在 $y$ 轴上的投影为点 $N$ ，点 $A (4, 3 \sqrt{5})$ ，则 $|M A| + |M N|$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 一条渐近线的斜率为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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18、某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在 $[350, 450]$ 内的学生人数为（）

A、300 B、400 C、600 D、1200

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (3 a - 4) x - 3, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，对任意实数 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 都满足 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[2, 4)$ D、 $(1, + \infty)$

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20、已知集合 $A = \{x | x^{2} < 1\}$ ， $B = \{a\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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$x$	2.8	2.9	3	3.1	3.2
$y$	24	25	29	32	34