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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若点 $E$ ， A，C， $D_{1}$ 都在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、11π B、12π C、36π D、44π

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2、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为10，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作斜率不为0的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右支分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $△ A B F_{2}$ 的内切圆与直线 $l$ 相切于点H，且 $|A H| = 8$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）.

A、 $x \pm 4 y = 0$ B、 $4 x \pm y = 0$ C、 $4 x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm 4 y = 0$

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3、已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（）

A、0.42 B、0.46 C、0.51 D、0.62

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4、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ 或 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (4, 8)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、-4 D、4

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6、已知复数 $z$ 满足 $z = 1 + 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）.

A、2. B、-2. C、2i. D、-2i.

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7、已知集合 $M = \{x \in N |x \leq 2\}$ ， $N = \{x |\frac{x + 6}{x - 2} \leq 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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8、华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示：
月份 $x$
2
3
4
5
6
手机销量 $y$ （部）
42
53
66
$m$
109
用最小二乘法得到手机销量 $y$ （单位：部）关于月份 $x$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 16.1 x + 5.6$ ，且销量 $y$ 的方差 $s_{y}^{2} = 542$ .

(1)、求 $m$ ；

(2)、求相关系数 $r$ （精确到0.01），并据此判断手机销量 $y$ 与月份 $x$ 的相关性强弱（若 $r > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关较强）；

(3)、求 $x = 4$ 时的残差 ${\hat{e}}_{3}$ ；已知 ${(y_{1} - {\hat{y}}_{1})}^{2} + {(y_{2} - {\hat{y}}_{2})}^{2} + {(y_{4} - {\hat{y}}_{4})}^{2} + {(y_{5} - {\hat{y}}_{5})}^{2} = 101.9$ ，求决定系数 $R^{2}$ （精确到0.01）.
附：回归系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ， $\sqrt{271} = 16.46$ .

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9、猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲 $A, B, C$ 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.
歌曲
$A$
$B$
$C$
猜对的概率
0.6
0.5
0.3
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000

(1)、该嘉宾从 $A, B, C$ 三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率.

(2)、若猜歌名的规则如下：按照 $A, B, C$ 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额 $X$ 的分布列及均值.

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10、某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）：
学校
企业
自由开发者
有需求
$3 m$
170
$2 n$
无需求
$m$
120
$n$
已知调查了400个学校和150个自由开发者.

(1)、求 $m$ 和 $n$ 的值；

(2)、估计目标用户对该设备有需求的概率；

(3)、是否有 $99 %$ 的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.1
0.01
0.001
$k$
2.706
6.635
10.828

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11、如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有条．

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12、两点分布：若 $X \sim B (1, p)$ ，则 $E (X) =$ ．

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13、若 $(x^{2} + 1) {(x - 2)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{11} {(x - 1)}^{11}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} = 2$ B、 $a_{2} + a_{4} + \dots + a_{10} = - 254$ C、 $a_{10} = - 7$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} \dots + 11 a_{11} = 0$

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14、某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为2%，第二车间的次品率为1%，第三车间的次品率为1.5%，三个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设第一、二、三车间生产的成品比例为 $3 : 2 : 3$ ，现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正确的有（）

A、取出的该件是次品的概率约为0.012 B、取出的该件是次品的概率约为0.016 C、若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5 D、若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.4

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15、已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为 $\hat{y} = - x + \hat{a}$ ，且变量x，y的样本数据如下表所示
x
-2
-1
0
1
2
y
5
4
m
2
1
据此计算出在 $x = 3$ 时，预测值为-0.2，则m的值为（）

A、3 B、2.8 C、2 D、1

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16、某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（）

A、14种 B、48种 C、72种 D、120种

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17、 ${(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式第三项为（）

A、60 B、 $- 120$ C、 $60 x^{2}$ D、 $- 120 x^{3}$

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18、书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，现从书架第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同取法（）

A、9种 B、24种 C、 $16$ 种 D、 $6$ 种

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19、我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点 $T$ ，该点 $T$ 即称为托里拆利点（以下简称“ $T$ 点”）.通过研究发现三角形中的“ $T$ 点”满足到三角形三个顶点的距离和 $T A + T B + T C$ 最小.当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{°}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{°}$ 的点 $O$ 即为“ $T$ 点”；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{°}$ 时，最大内角的顶点为“ $T$ 点”.试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .

(1)、若 $\sqrt{3} b - c \sin A = \sqrt{3} a \cos C$ ，则
①求 $A$ ；
②若 $b c = 4$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“ $T$ 点”，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(2)、若 $a \cos B - b \cos A = c$ ，设 $P$ 点为 $△ A B C$ 的“ $T$ 点”， $| \vec{P B} | + | \vec{P C} | = 2 t | \vec{P A} |$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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20、记△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} a sin B - b cos A = b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $b - 2 c$ 的范围.

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歌曲	$A$	$B$	$C$
猜对的概率	0.6	0.5	0.3
获得的公益基金额/元	1000	2000	3000

	学校	企业	自由开发者
有需求	$3 m$	170	$2 n$
无需求	$m$	120	$n$

月份 $x$	2	3	4	5	6
手机销量 $y$ （部）	42	53	66	$m$	109

$P (χ^{2} \geq k)$	0.1	0.01	0.001
$k$	2.706	6.635	10.828