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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x^{2} - x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[\frac{e}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2 e}, + \infty)$

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2、骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件 $A =$ “两次点数的最大值为4”，事件 $B =$ “两次点数的最小值为1”，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{3}{8}$

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3、曲线 $y = e^{x} + 2 x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $3 x - y + 1 = 0$ B、 $3 x - y - 3 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x - y - 2 = 0$

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4、下表是离散型随机变量 $ξ$ 的概率分布，则 $P (2 \leq ξ \leq 3) =$ （）
$ξ$
1
2
3
4
P
$\frac{a}{24}$
$\frac{a}{8}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{11}{12}$

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5、清远市有5个著名景点：A.连州地下河、B.英西峰林走廊、C.黄腾峡漂流、D.南岗千年瑶寨、E.聚龙湾温泉.某游客计划选择其中3个游览，但根据交通安排，若选择C（黄腾峡漂流），则必须同时选择E（聚龙湾温泉）.则该游客不同的选法有（）

A、5种 B、6种 C、7种 D、8种

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6、设函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处存在导数为2，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{4 Δ x} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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7、若 ${(1 + x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} =$ （）

A、256 B、127 C、128 D、129

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8、A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（）

A、240 B、120 C、96 D、60

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9、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- 2, 0)$ ，椭圆上任意一点到 $F_{1}$ 的距离最大值为6.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过原点且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于M，N两点.
（i）当 $k \neq 0$ 时，设直线 $F_{1} M$ ， $F_{1} N$ 的斜率分别是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $\frac{k}{k_{1}} + \frac{k}{k_{2}}$ 为定值；
（ⅱ）过点 $F_{1}$ 作垂直于 $M N$ 的直线交 $M N$ 于 $T$ ，交圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 2)$ 于P，Q两点，记 $△ P M T$ ， $△ Q N T$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2} (S_{1} < S_{2})$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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10、如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，沿 $A C$ 将 $△ A D C$ 折起，使点D到达点P的位置，点P在平面 $A B C$ 的射影H落在边 $A B$ 上.

(1)、求三棱锥 $P - B C H$ 的体积；

(2)、若M是棱 $P C$ 上的一个动点，是否存在点M，使得平面 $A M B$ 与平面 $P B C$ 的夹角正切值为 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ ，若存在，求点M到平面 $A B C$ 的距离；若不存在，请说明理由.

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11、已知函数 $f (x) = \ln x - a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，设 $g (x) = \frac{1}{x} f (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{3}]$ 上有且仅有2个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量 $X$ 表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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13、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c - 2 a \cos^{2} B = 2 b \cos A \cos B$ .

(1)、求B；

(2)、设D为边 $A C$ 的中点，若 $b = 4$ ， $B D = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 25$ ，直线 $l$ 的方程为 $(m + 2) x + (1 - 2 m) y + 7 m - 6 = 0$ ，直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦中长度为整数的共有条.

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15、在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有种.

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16、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{3})$ ， $Y = 3 X + 1$ ，则 $E (Y) =$ .

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17、我们把 $\cosh x$ 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .若直线 $x = m$ 与双曲余弦函数曲线 $C_{1}$ 和双曲正弦函数曲线 $C_{2}$ 分别相交于点A，B，曲线 $C_{1}$ 在点A处的切线与曲线 $C_{2}$ 在点B处的切线相交于点P，则（）

A、 $y = \sinh x \cosh x$ 是奇函数 B、 $\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$ C、 $| B P |$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上随m的增大而减小，在区间 $(0, + \infty)$ 上随m的增大而增大 D、 $△ P A B$ 的面积为定值

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18、已知 $F (2, 0)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 且倾斜角为135°的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 两点，则（）

A、 $p = 2$ B、 $y_{1} y_{2} = - 16$ C、 $|M N| = 16$ D、以 $M N$ 为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点

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19、下列说法正确的是（）

A、若回归方程为 $\hat{y} = 5 - 3 x$ ，则变量x与y负相关 B、运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、若散点图中所有点都在直线 $y = 0.92 x - 4.21$ 上，则相关系数 $r = 0.92$ D、若决定系数 $R^{2}$ 的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好

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20、对 $n \in N^{*}$ ，设 $x_{n}$ 是关于x的方程 $n x^{3} + 2 x - n = 0$ 的实数根，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} 1, n = 1 \\ [(n + 1) x_{n}], n \geq 2, n \in N^{*} \end{cases}$ 其中符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $\frac{a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2025}}{1013} =$ （）

A、1013 B、1015 C、2025 D、2027

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$ξ$	1	2	3	4
P	$\frac{a}{24}$	$\frac{a}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$