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相关试卷

1、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 $X$ 的所有可能取值为1，2，…， $n (n \in N^{*})$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .

(1)、证明：当且仅当 $n = 1$ 时， $H (X) = 0$ ；

(2)、若 $n = 3$ ，且 $p_{k + 1} - p_{k} = p_{1} (k = 1, 2)$ ，比较 $H (X)$ 与1的大小；

(3)、重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为 $X$ ，求 $H (X)$ .

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2、为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄
次数
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
每周0～2次
70
55
36
59
每周3～4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10

(1)、若把年龄在 $[20, 40)$ 的锻炼者称为青年，年龄在 $[40, 60]$ 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；

(2)、从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 $[30, 40)$ 与 $[50, 60]$ 的人数分别为 $X, Y, ξ = |X - Y|$ ，求 $ξ$ 的分布列与期望；

(3)、已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
附：
$α$
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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3、已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．

(1)、求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；

(2)、求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．

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4、 $A$ 、 $B$ 为 $y = 1 - x^{2}$ 上在 $y$ 轴两侧的点，过 $A$ 、 $B$ 的切线与 $x$ 轴围成面积的最小值为.

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5、已知随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = \frac{1}{2}$ ， $P (ξ > 3) = \frac{5}{6}$ ， $P (3 < ξ \leq 5) =$ .

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6、某同学用收集到的6组数据对 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线 $l_{1}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，样本相关系数为 $r_{1}$ ，决定系数为 $R_{1}^{2}$ ，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线 $l_{2}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，样本相关系数为 $r_{2}$ ，决定系数为 $R_{2}^{2}$ ，（其中决定系数 $R^{2}$ 是样本相关系数 $r$ 的平方，即 $R^{2} = r^{2}$ ，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（）

A、 ${\hat{b}}_{1} > 0$ B、 ${\hat{b}}_{2} < 0$ C、直线 $l_{1}$ 恰好过点C D、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$

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7、小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使 $P (X = 6)$ 最大的N值估计N的取值并计算 $E (X)$ .（若有多个N使 $P (X = 6)$ 最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（）

A、 $E (X) > 6$ B、 $E (X) < 6$ C、 $E (X) = 6$ D、 $E (X)$ 与6的大小无法确定

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8、已知点 $P$ 在曲线 $y = 2 x^{2} - \ln x$ 上，点 $Q$ 在 $y = 3 x - 4$ 直线上，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $d = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $d = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $d = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $d = \frac{\sqrt{13}}{13}$

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9、设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 与 $\frac{2}{3}$ ，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{10}{27}$ D、 $\frac{20}{27}$

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10、在 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中存在常数项，则正整数 $n$ 可以是

A、2017 B、2018 C、2019 D、2020

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11、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, 2)$ ，则 $D (2 ξ + 1) =$ （）

A、4 B、5 C、7 D、8

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12、定义在 $D$ 上的可导函数 $y = f (x)$ ，集合 $A_{(k, m)} = \{f (x) | F (x_{i}) = k, x_{i} \in D,$ $i = 1, 2, \dots, m,$ $m$ 为正整数 $}$ ，其中 $F (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 称为 $f (x)$ 的自和函数， $x_{i}$ 称为 $y = f (x)$ 的固着点. 已知 $f (x) = a e^{x} + b x + c sin x (a, b, c \in R)$ .

(1)、若 $a = c = 0, b = 2, D = R$ ， $f (x) \in A_{(1, m)}$ ，求 $m$ 的值及 $y = f (x)$ 的固着点；

(2)、若 $a = 0, b = 1, c = 1, D = [s, t] (s > 0)$ ， $F (x)$ 是 $f (x)$ 的自和函数，且 $F (x)$ 在 $D$ 上是严格增函数，求 $t - s$ 的最大值；

(3)、若 $b = - 1, c = 0, D = (0, + \infty)$ ， $f (x) \in A_{(0, 1)}$ ，且 $t$ 是 $y = f (x)$ 的固着点，求 $a$ 的取值范围，并证明： $\frac{1}{2 a} < e^{t} < \frac{1}{a^{2}}$ .

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13、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1_{} ， F_{1} 、 F_{2}$ 分别是其左、右焦点，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A 、 B$ 两点.

(1)、当直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，且 $|A B| = 6$ 时，求 $△ A B F_{1}$ 的周长；

(2)、已知点 $N (- 2, 3)$ ，若直线 $A N 、 B N$ 的斜率之和为 $0$ ，且 $\tan ∠ A N B = \frac{4}{3}$ ，当 $A N 、 B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $R 、 S$ 时，求 $△ R S N$ 的面积；

(3)、已知直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点且位于第一象限，且满足 $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ 的点 $Q$ 在线段 $A B$ 上，若 $\vec{A B} = 2 \vec{Q F_{2}}$ ，求点 $P$ 的坐标.

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14、某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量 $x$ （个）和游客平均等待时间 $y$ （分钟/个）的关系：
项目类别
体验类
演出类
互动类
开放数量 $x$ （个）
4
5
6
7
8
2
4
2
3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）
76
73
67
m
60
53
30
46
30

(1)、体验类项目中，若 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $y = - 4.3 x + 93.8$ ，请计算 $m$ 的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；

(2)、小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；

(3)、为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为 $p$ ，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.

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15、已知函数 $f (x) = a^{x}$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、若 $f (2) = 4$ ，求方程 $f (x) - f (- x) = 2$ 的解；

(2)、已知 $0 < a < 1$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (m x)]}^{2} \geq f (x^{2} + 1) \cdot f (x + 3)$ 在区间 $[1, 2]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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16、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的正三角形，且 $A B = A D = \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $B C$ 的中点，且二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ ，求 $A E$ 与平面 $B C D$ 所成角的大小.

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17、若对任意正整数 $n$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 都是完全平方数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = {(n - t)}^{2}$ ，（ $t$ 为正整数），则使得数列 $\{|b_{n}|\}$ 为“完全平方数列”的 $t$ 值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（）

A、①是真命题， ②是真命题； B、①是真命题， ②是假命题； C、①是假命题， ②是真命题； D、①是假命题， ②是假命题.

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18、甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（）

A、甲得分的极差小于乙得分的极差 B、甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C、甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D、甲得分的方差小于乙得分的方差

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19、“ $a > b$ ”的一个必要非充分条件是（）

A、 $\ln (a - b) > 0$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a - b} \leq 1$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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年龄次数	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
每周0～2次	70	55	36	59
每周3～4次	25	40	44	31
每周5次及以上	5	5	20	10

项目类别	体验类					演出类		互动类
开放数量 $x$ （个）	4	5	6	7	8	2	4	2	3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）	76	73	67	m	60	53	30	46	30

$α$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828