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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 4)$ ， $\vec{b} = (3, 2)$ .

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直?

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + λ \vec{b}$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求 $λ$ 的值.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $△ A B C$ 内角 $B$ 的角平分线长为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值为.

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4、已知 $\sin α + \cos α = \frac{7}{5}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为.

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5、已知函数 $f (x) = sin ω (x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有 $2$ 个最小值点，下列结论正确的有（）

A、 $ω \in (3, \frac{33}{7}]$ B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上最少 $3$ 个零点，最多 $4$ 个零点 C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有 $2$ 个最大值点 D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5 π}{33})$ 上单调递减

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6、在如图所示的直三棱柱中，点 $A$ 和 $B B_{1}$ 的中点 $M$ 以及 $B_{1} C_{1}$ 的中点 $N$ 所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{11}{17}$ D、 $\frac{13}{23}$

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7、设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是半径为 $1$ 的圆上三点，若 $A B = \sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8、已知角 $α, β$ 满足 $tan α = \frac{1}{3}, 2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、2

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9、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ D、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

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10、如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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11、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n, m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m, n$ 是异面直线 D、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ 或 $m$ ， $n$ 是异面直线

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12、复数z满足 $z (2 - i) = |3 + 4 i|$ ，则复数z的虚部是（）

A、2 B、 $2 i$ C、1 D、 $i$

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13、设 $n \geq 3$ ，对于数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若对任意 $k \in \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 与 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{n}$ 均为非负数或者均为负数，则称数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列.

(1)、判断数列 $\sin 0$ ， $\sin \frac{π}{2}$ ， $\sin π$ ， $\sin \frac{3 π}{2}$ ， $\sin 2 π$ 与数列 $\cos 0$ ， $\cos \frac{π}{2}$ ， $\cos π$ ， $\cos \frac{3 π}{2}$ ， $\cos 2 π$ 分别是否为强数列；

(2)、若存在公比为负数的等比数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ ，使得它为强数列，求公比q的取值范围；

(3)、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列.

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14、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 8 \sin (x + φ)$ ，其中 $|φ| \leq π$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的零点个数；

(3)、若 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $φ$ 的取值范围.

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15、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $A D = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $P D ⊥ C D$ ， E为AB的中点，M为CE的中点.

(1)、证明： $P M ⊥ A B$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{15}$ ， N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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16、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F，抛物线C上点 $M (2, y_{0})$ 满足 $|M F| = 3$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设点 $D (- 1, 0)$ ，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明： $x = 1$ 是 $∠ A F B$ 的角平分线.

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17、在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a (\cos C + \sqrt{3} \sin C) = b + c$ ，

(1)、求A.

(2)、若 $b = 5$ ， $c = 2$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
（Ⅰ）求AM；
（Ⅱ）求 $\cos ∠ M P N$ .

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18、对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为.

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19、在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线 $y = x^{2} + a$ 与 $y^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} x$ 相切，则 $a =$ .

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20、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线上一点，且满足 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $∠ P F_{2} F_{1} = \frac{π}{6}$ ，则双曲线的离心率为.

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