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相关试卷

1、设 $e$ 为自然对数的底数，函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{x} - a \ln x (x > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = e$ 时， $f (x)$ 无极值点 B、当 $a > e$ 时， $f (x)$ 有两个零点 C、当 $1 < a < e$ 时， $f (x)$ 有1个零点 D、当 $a \leq 1$ 时， $f (x)$ 无零点

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2、已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若 $\vec{P F} = 3 \vec{M F}$ ，则（）

A、 $|M F| = \frac{2}{3}$ B、 $|M N| = \frac{8}{3}$ C、 $|F Q| = 1$ D、 $|P Q| = 2$

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3、若 $2 \cos 2 x = 1 + \sin 2 x$ ，则 $\tan x =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ 或3

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4、在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有

A、24种 B、48种 C、96种 D、144种

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5、过抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若直线 $O A, O B$ 的斜率分别是 $k_{1}, k_{2}$ ，则（）

A、以 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切； B、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{1}{|B F|} = 8$ C、 $k_{1} k_{2} = - 2$ D、分别过 $A, B$ 两点作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 在 $y = - \frac{1}{8}$ 上.

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6、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，两焦点和短轴一个端点构成边长为 $2$ 的正三角形．

(1)、求椭圆方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相切于第一象限内的点 $P$ ，不过原点 $O$ 直线 $l_{2}$ ： $y = k x + n$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ．记直线 $O P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ．
①求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
②若 $O$ ， $P$ ， $B$ ， $C$ 四点围成的四边形为平行四边形，求 $\frac{S_{△ O A B}}{S_{△ P A B}}$ 的值．

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7、已知菱形 $A B C D$ 如图①所示，其中 $A B = 4$ 且 $∠ C A B = 60^{\circ}$ ，现沿 $A C$ 进行翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ，再过点 $B$ 作 $B E ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $B E = \frac{\sqrt{3}}{4} A B$ ，所得图形如图②所示．

(1)、求五面体 $A B C D E$ 的体积；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，若 $B P$ 与平面 $A D E$ 所成角为 $θ$ ，求 $sin θ$ 的最大值．

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ， $c > 0$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 与圆 $E : {(x - \frac{c}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{9}$ 相切，则双曲线的离心率是．

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9、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $A C ， A_{1} B$ 的中点，则（）

A、 $M N / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、 $M N ⊥ A C_{1}$ C、直线 $M N$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ D、若 $\vec{A_{1} E} = 2 \vec{E B_{1}}$ ，则平面 $M ， N ， C_{1} ， E$ 四点共面

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10、甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布 $N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（）
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ .

A、乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B、甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C、甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D、若 $σ_{1} = 5$ ，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

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11、若 $\tan (α + β) = 7, \frac{\tan^{2} α - \tan^{2} β}{1 - \tan^{2} α \tan^{2} β} = 21$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{10}{21}$ D、 $\frac{21}{10}$

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12、圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为 $2 cm$ ，下底面半径为 $3 cm$ ，圆台母线长为 $4 cm$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $28 {πcm}^{2}$ B、 $36 {πcm}^{2}$ C、 $42 {πcm}^{2}$ D、 $48 {πcm}^{2}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (- 6, 8)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $- \frac{8}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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14、设 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $|z - \bar{z}| =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、0

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15、已知集合 $A = \{x \in R ∣ x^{2} - x - 2 < 0\}, B = \{y ∣ y = 2^{x}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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16、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - 1 (ω > 0)$ 的相邻两对称轴间的距离为 $π$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (2 θ + \frac{π}{3}) = - \frac{2}{7}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin θ$ 的值．

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17、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 3$ ， $A C = 4$ ， $P$ 在线段 $B C$ 上，且 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 60 °$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ .

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18、已知 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $120^{°}$ ，求：

(1)、 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \bar{b}$ 的夹角；

(3)、若向量 $2 \vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 3 \vec{b}$ 平行，求实数 $λ$ 的值.

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19、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan β$ 的值．

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20、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω =$ ， $f (\frac{7 π}{12})$ 的值为.

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