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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 3, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、若复数 $z = i^{2} - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $i$ D、 $i^{2}$

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3、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $B_{n}$ ，且 $B_{4} = 4 B_{2}$ ， $b_{2 n} = 2 b_{n} + 1, (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在3项 $d_{m}, d_{k}, d_{p}$ ，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．

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4、已知首项为3的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} + a_{n} = S_{n} + 5 \cdot 4^{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{a_{n} - 4^{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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5、已知圆心为 $C$ 的圆经过 $A (- 1, 3), B (1, 1)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $l : x + y = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程：

(2)、求过点 $(3, - 1)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程.

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6、在下列四个命题中，正确的命题的有.
①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x²＋y²－2y－5＝0的圆心，则 $\frac{4}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值是10；
②若圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = r^{2}$ 上有且只有两个点到直线 $4 x - 3 y = 2$ 的距离为1，则 $4 < r < 6$ ；
③若实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0, 则 \frac{y - 4}{x - 2}$ 的取值范围为 $[\frac{4}{3}, + \infty)$ ；
④点M在圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ 上运动，点 $N (0, - 2)$ 为定点，则|MN|的最大值是7.

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 且当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = - S_{n} \cdot S_{n - 1}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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8、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 4 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则下列选项正确的有（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{5}{2} n^{2} - \frac{9}{2} n + 3 (n \in N^{*})$ B、数列 $\{a_{n + 1} - 2 a_{n}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 的最大项为 $\frac{4}{9}$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 的前11项和为20481

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{2} = \frac{2}{3}$ B、 $a_{3} = \frac{1}{2}$ C、 $a_{2023} = 3$ D、 $S_{37} = 41$

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10、已知实数 $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ 满足， $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 4$ ， $x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 4$ ， $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 2$ ，则 $| x_{1} + y_{1} - 4 | + | x_{2} + y_{2} - 4 |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} + 8$ C、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6} + 8$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 2^{n + 1}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(n + 1) 2^{n - 1}}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{n} < t$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $t$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 63}{n + 3}$ ，则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 为整数的正整数 $n$ 的个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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13、已知圆 $C$ 过点 $(1, 0)$ ，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $l : x + y - 1 = 0$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则过圆心 $C$ 且与直线 $l$ 垂直的直线的方程为（）

A、 $x - y - 3 = 0$ B、 $x - y + 3 = 0$ C、 $x - y + 5 = 0$ D、 $x - y - 5 = 0$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} a_{2} a_{3} = 8$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、-2 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ ，对任意 $x, y \in (- 2, 2)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且当 $x \in$ $(0, 2)$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = - 2$ ， $f (x) \leq t^{2} + a t - 1$ 对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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16、如图， $△ O A B$ 是边长为2的正三角形，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 \leq t \leq 2)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ .

(1)、试求函数 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、有同学发现，函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数 $y = f (t)$ 的图象关于点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 成中心对称图形.

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17、设函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，证明： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递增；

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18、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ 和 $(3, 6)$ ，求 $f (x)$ 在 $R$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，求 $a$ 的值.

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19、求下列各式的值：

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ 的值；

(2)、 ${(lg 2)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + lg 25$ ；

(3)、若 $lg 2 = a$ ， $3^{b} = 10$ ，用 $a$ ， $b$ 表示 ${log}_{12} 45$ .

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | 1 - a < x < 1 + a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分条件，求a的取值范围.

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